数学竞赛趣味题目

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1、广东博文学校奥数培训中心六年级教材第一章五猴分桃1有5只猴子分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家先去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃了一个桃子，剩下的桃子正好分成相等5的份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去了。又有一只猴子偷偷起来，也吃了一个桃子，所剩的桃子也刚好分成相等的5份，它把自己的一份收藏起来后也睡觉去了。另外三只猴子先后都照此办理。问这堆桃子开始共有多少个？这个有趣的问题流传很广，有人还把它编成小故事登在报刊上，李政道博士在1979年春专程访问中国科技大学少年班时，曾把这个趣题拿给少年大学生去解。根据题意，设桃子总数为

2、N，夜间每只猴子藏起的桃子数分别是A、B、C、D、E，可列出方程组：N＝5A＋14A＝5B＋14B＝5C＋14C＝5D＋14D＝5E＋1经逐个代入，可得256N＝3125E＋2101要求这个不定方程的非负整数解，过程比较繁。特别是猴子数目比较大时，计算起来更费事。著名数理逻辑学家怀德海有一个异乎寻常的想法，先求出负整数特解后，再求正整数解。设想，当E＝－1时，由方程256N＝3125E＋2101得出N＝－4。由于桃子数N被连续5次分成5堆，因此，如果一个数是上述方程的特解，那么此数再加上面55后仍然是方程的解。既然－4是特解，于是－4＋55

3、也是解，于是，桃子总数是－4＋3125＝3121如何理解－4是特解呢？怀德海的解释是：假定当初有－4个桃子，一只猴子从中硬拿出一个吃掉，还剩下－4－1＝－5个桃子，分成5份，每份恰好是－1个桃子。私藏起一份之后，还剩－4个桃子，仍然回到没有分以前的情况，照这样的分法，不仅可分5次，能一直分下去。因此－4是个神奇的特解。这正是怀德海想法的异乎寻常之处。这个问题可以用还原法解答，依题意列方程，{【〔[（N－1）·－1]·－1〕·－1】·－1}·＝E其中N是桃子总数，E是第五次分得的每份数，逐次还原可得N＝{〔[（5E＋1）·＋1]·＋1〕·＋1

4、}·＋1博文奥数教材第２３页广东博文学校奥数培训中心六年级教材＝＋()4＋()3＋()2＋＋1＝＋＝＋＝由于4与5互质，只有当取得最小正整数1时，才能得Ｎ的最小正整数解，所以E＝44－1＝255N＝55－4＝3125－4＝3121在这个方法中，用到了公式an－1＝（an－1＋an－2＋…＋a＋1）（a－1）由此得()4＋()3＋()2＋＋1＝更一般地，an－bn＝（an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1）（a－b）下面是这个问题另一种简单解法。设桃子总数为x，n只猴子自藏起来的桃子数依次为k1，k2，…，kn，得方程组

5、nk1＝x－1nk2＝（n－1）k1－1……nkn＝（n－1）kn－1－1从第二个方程开始，每个方程的等号两边都加上n，得n（k2＋1）＝（n－1）（k1＋1）n（k3＋1）＝（n－1）（k2＋1）……n（kn＋1）＝（n－1）（kn－1＋1）再把这些等式两边乘起来，得nn－1（kn＋1）＝（n－1）n－1（k1＋1）因为对于任何自然数n，n－1的每个质因数都不是n的因数，所以k1＋1必是nn－1的倍数。记作k1＋1＝k·nn－1将此式代入nk1＝x－1得博文奥数教材第２３页广东博文学校奥数培训中心六年级教材x＝n（nn－1k－1）＋1＝n

6、nk－（n－1）取k＝1，得最小正整数解为x＝nn－n＋1令n＝5，得本题中桃子总数为55－5＋1＝3121在这种解法中，我们推导出了一个一般公式x＝nn－n＋1对于任意的n（n＞2）只猴子的情况，只需将n代入公式，就可得桃子的总数。第二章四色问题1（国标P108）画在纸上的任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。图1用数学语言表示，即“将平面任意分成不相重叠的区域，每一区域总可用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的，如果两个区域只相遇

7、于一点或有限多个点，就不叫相邻的，因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆，如图1。1852年，英国伦敦大学学生格思里（Guthrie）面对地图发现：不论多么复杂的地图，只须四种颜色便可将任何相邻区域区分开。他把这一想法告诉他的哥哥。他们又就这个问题请教德·摩根（DeMorgan，1806～1871），试图得到这一问题的证明。摩根没能证出来，便将此事告诉了哈密尔顿（Hamilton，1805～1865），但他们始终没有得到结果。1878年英国数学家凯莱（Cayley，1821～1895）在伦敦数学会会刊上发表一篇文章，将上述问题归结为“四色猜

8、想”。凯莱的文章引起了很大的反响。人们被这样一个简简单单却又解决起来困难重重的问题所吸引，一大批很有才华的人士踏上了探索奥秘的路途。大约在凯莱公开“四色猜想”后一年左右的时候，伦