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时间:2019-01-05
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1、删繁就简化难为易 【关键词】初中数学因式分解解题 【中图分类号】G【文献标识码】A 【文章编号】0450-9889(2013)03B-0083-01 “因式分解”在初中数学解题中应用十分广泛,在其他领域中也有一些独特的使用。本文通过探究其在不同题型中的不同运用,加强知识间的联系,帮助学生学会灵活运用“因式分解法”解题。 一、提取公因式法求算式的值 初中数学求算式的值的题一般都是含有字母的代数式,重点考查学生运用简便方法求值的能力。因式分解就是一种重要的简便方法,用得较多的如提取公因式法,其本质就是乘法分配律的逆用。 【例1】计算10052-502×2010。 分析:这道
2、题如果直接计算的话,计算量是比较大的。观察式子中的数字,可以发现1005与2010之间有联系,将2010拆成2×1005,这道题的计算就变得容易多了。 原式=10052-502×2×1005 =1005×(1005-1004) =1005。4 提取公因式也是因式分解中的一种。在计算过程中,通过提取公因式能减少计算步骤,降低计算量,使计算过程变得简洁且不容易出错。在平时的教学和练习中,教师一定要重视培养学生寻找简便方法的意识,提高学生综合运用知识灵活解题的能力。 二、逐次分解法求代数式的值 在求代数式的值这类题型中,我们可以运用因式分解先化简再求值,这样不但可以减少运算量,还
3、可以提高解题的正确率,提高解题速度。特别是在一些含有分式的题型当中,通常先对分式进行约分,以降低计算的难度,把一些繁难的代数式计算变得简洁和容易。 【例2】m=-4时,求m4-34m2+225的值。 分析:如果把m=-4直接代入式中进行计算,计算量较大,而且没有达到题目的考查目的。所以应该想办法把代数式简化,可先用十字相乘法分解因式,再进一步进行化简。 解:m4-34m2+225 =(m2-9)(m2-25) =(m+3)(m-3)(m+5)(m-5), 把m=-4代入,原式=-63。 像这种求代数式的值的题,一般先观察代数式,尝试用能想到的方法去分解,经过第一次分解之后
4、,再观察是否可以继续分解,直到代数式化到最简为止。本例经过第一步的因式分解之后,发现还可以再运用平方差公式进行化简。 三、转化条件法求待定系数的值4 一般求待定系数的值的题都是给出一个含有该系数的代数式或等式,结合其他条件,要求该待定系数的值。待定系数不一定就是一个数,也可能是一个式子。这类题目不要求把式子中的每个未知数都求出来,只需要通过变形或化简,把待求的字母或式子从原式中分离出来并确定它的值。 【例3】二次多项式x2+2mx-3m2能被x-1整除,求m的值。 分析:原式中含有两个未知数,如果直接把未知数求出来确定m的值,是不可取的。根据已知条件可以知道x-1是二次多项式x
5、2+2mx-3m2中的一个因式,可以先把这个二次多项式进行因式分解,再观察每部分与x-1的关系,进一步求值。 解:x2+2mx-3m2=(x+3m)(x-m), 又∵x2+2mx-3m2能被x-1整除, ∴x+3m=x-1或x-m=x-1,由此得m=-或m=1。 因式分解用于求待定系数的值是一种常见的解题方法,学生对这种方法的运用要敏感。特别是对于一些有特殊条件如“被……整除”的题,要用心思考出题的初衷,才能知道如何把题目条件转化成与因式相关联的已知条件。 四、变形分解法求取函数的最值 在求函数最值问题中运用因式分解,主要是通过因式分解把一些特殊的、较复杂的函数转化为较普通
6、的、简单的函数来求最值,这样可以解除原函数不能直接求最值的困惑。 【例4】已知x为实数,求函数y=-(x2-4)(x2-10x+21)-100的最值。4 分析:这道题中的函数已不是一个二次函数,不能直接使用公式求最值,但通过观察可以发现,组成函数的某些因式可以进行因式分解,所以应先尝试对函数进行因式分解和变形。 解:y=-(x2-4)(x2-10x+21)-100 =-(x+2)(x-2)(x-3)(x-7)-100 =-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-100 =-(x2-5x)2+8(x2-5x)-16 =-(x2-5x-4)2≤0。 因此,x为任何数时,y都
7、只有最大值0。 这是一道比较复杂的综合题,考查的不仅是有关函数的最值问题,更重要的还是考查对代数式的变形以及有关公式的灵活使用。学生要对因式分解的各种方法都很熟悉才容易得出解题的方法,特别是十字相乘法和完全平方法。这两种方法相对提取公因式法和平方差公式法较难看出应用的场合,一定要熟记。 从上面几个例子可以看出,因式分解在解题中的应用非常广泛,往往能帮助我们轻松解题。所以,学生在平常的练习当中应该多思考、总结不同类型的题目所适用的因式分解法,
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