高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究 新人教a版选修2-21

《高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究 新人教a版选修2-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究新人教A版选修2-2探究一用反证法证明否定性命题当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题时，因为此类命题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．【典型例题1】已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．思路分析：本题考查反证法问

2、题，因涉及方程的根可从范围方面寻找矛盾．证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0＜0，x0≠－1且ax0＝－，由0＜＜1可知0＜－＜1，解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，故假设不成立，即方程f(x)＝0没有负数根．反思反证法的具体步骤是：(1)提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；(2)推出矛盾：由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；(3)肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立．探究二用反证法证明唯一性命题1．证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一

3、个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．2．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．【典型例题2】已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象连续不间断，且f(x)在[a，b]上单调，f(a)＞0，f(b)＜0.求证：函数y＝f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．思路分析：由函数零点存在性判定定理易证存在性，对于唯一性可用反证法证明

4、．证明：由于y＝f(x)的图象在[a，b]上连续不间断，又f(a)＞0，f(b)＜0，即f(a)·f(b)＜0，故y＝f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0.下面用反证法证明只有一个零点x0.认真组织会员学习，及时将党的路线、方针、政策，及时将新的法律和规章，传达到会员，协会编印了《会员之家》宣传资料共四期我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺假设y＝f(x)在[a，b]上还存在一个零点x1(x1≠x0)，则f(x1)＝0.

5、由函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)＞0，f(b)＜0知f(x)在[a，b]上单调递减．若x1＞x0，则f(x1)＜f(x0)，即0＜0，矛盾，若x1＜x0，则f(x1)＞f(x0)，即0＞0，矛盾，因此假设不成立，即f(x)的零点是唯一的．探究三用反证法证明“至多”“至少”问题当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至

6、少有n个至多有n－1个p或qp且q至多有n个至少有n＋1个p且qp或q【典型例题3】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．思路分析：→→证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－

7、4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．探究四易错辨析易错点：漏用假设的结论而导致出错【典型例题4】已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．错解：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p认真组织会员学习，及时将党的路线、方针、政策，及时将新的法律和规章，传达到会员，协会编印了《会

8、员之家》宣传资料共四期我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺＋2)＜0，解得－2＜p＜－，而关于