奥数：msdc.初中数学.勾股定理b级.第讲.学生版

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1、勾股定理中考要求内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理及逆定理判定三角形是否为直角三角形例题精讲1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是、，斜边为，那么．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。2．勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：　　（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方

2、和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即。4．勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17模块一勾股定理【例1】如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【巩固】如图，点D是ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转600得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．【例1】一位同学拿了两块45°的三角尺MNK、ACB做了一个探究活动：将M

3、NK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为（），周长为（）（2）将图1中的MNK绕顶点M逆时针旋转，得到图2，此时重叠部分的面积为（），周长为（）．（3）如果将MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．【例1】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等

4、腰直角三角形？证明你的结论．【例2】已知：如图，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，BD和CE交于点H，HD=1cm，HE=2cm，求：BD，CE的长及ABC的面积．【例3】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=求BE的长．【例1】如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　）A．B．C．D．【巩固】将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在

5、的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为．【例2】解答下列各题：（1）等腰直角和等腰直角的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；（2）若保持其他条件不变，等腰直角CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．【巩固】如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．（1）转动AB，如图（2）所示，若灯

6、心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；（2）继续转动AB，使AB⊥BC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大）【例1】如图，ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．【例1】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；（2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．（n为正整数）【例2】小华将一条直角边

7、长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形（如图）的一条腰长为_______________________．模块二勾股定理的逆定理【例3】三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是