奥数：msdc.初中数学.圆b级.第讲.学生版

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1、直线与圆的位置关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题重难点1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．例题精讲模版一直线与圆位置关系的确定设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线

2、叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．直线与相交二、切线的性质及判定1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：

3、和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都

4、相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则．【例1】如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是A．≤≤B．≤≤C．－1≤≤1D．＞【例2】中，，，，给出下列三个结论：①以点为圆心，3cm长为半径的圆与相离；②以点为圆心，4cm长为半径的圆与相切；③

5、以点为圆心，5cm长为半径的圆与直线相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．3个【巩固】在中，，，，以点为圆心，为半径的圆和有怎样的位置关系？为什么？（1）；（2）；（3）．【例1】如下左图，在直角梯形中，，，且，是的直径，则直线与的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【巩固】如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，，，，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置关系是．模版二切线的性质及判定☞作垂直证半径【例2】已知：为平分线上一点，于，以为圆心．以为半径作圆．求证：与相切．【巩固】如图，为等腰三角形，，是底边的中

6、点，与腰相切于点，求证与相切．☞连半径证垂直证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题，证明的基本方法有：（1）利用定义，证明直线与圆只有一个交点；（2）当所证直线与圆有一个公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直；（3）当所证直线与圆没有确定的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。总结：连接圆心与切点是一条常用辅助线，由此可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用。求值：圆的证明大题第二问通常是考到了求线段的长度，求值的基本方法有：（1）设出要求的线段，然后找出直角三角形，利用勾股定理列出方程求出线段的长．（2）

7、找出相似三角形，利用边的比例求出线段的长，这种方法的应用在一二模和中考中用的非常多。必须要熟练掌握。（3）牵涉到了锐角三角函数时，需要利用相等的角转换，然后利用三角函数去求解。（4）利用射影定理，或切线长定理求解【例1】（10年海淀二模）已知：如图，点在以为直径的⊙上，点在的延长线上，.（1）求证：为⊙的切线；（2）过点作于.若,求⊙的半径.【巩固】（10年朝阳二模）已知：如图,AB是⊙O的直径,AB=AC，BC交⊙O于点D，延长CA交⊙O于点F，连接DF，DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，，求EF的长．【拓展】（10西城一

8、模）如图，内接于，，点在上，于点，与交于点，点在的延