经济数学基础辅导10

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1、经济数学基础辅导10制、H电大第四编矩阵代数叶挺峰第九章矩阵、mxn矩阵由mxn个数如（i=l,2,n）排成一个m行n列的矩阵数表称为mxn矩阵，其中如是矩阵第i行第j列交叉处的元素。矩阵常用大写字母A、B、C……表示。有吋为标明一个矩阵的行数和列数，用Amxn或（如）mxn表示一个ni行n列的矩阵。当m=n吋，A是nxn矩阵，称为n阶方阵，简记An。二、矩阵的运算1.矩阵加法设人=（如）mxn,（bij）则A+B=（如+bQmxn由此可得A-B=A+（-B）2.数乘矩阵若R=（如）mxn,入是任意数，贝ij^A=（入如）mxn已知A=3-2B=4-

2、350<丿82L丿例］求矩阵方程A+2X=B<4-3>解：2X=B-A<3一2、厂4-3-3+2-18-52-0X=

3、(B-A)_r1二23<21.矩阵乘法(1)定义设人=(aij),B=(bij)sxn贝1JA与B乘积记为C=AB,C是mxn矩阵，即C=(cQmxn其中Cij=&bj+ai2bij++&sbsj(i=l,2,,m,j=l,2,n)可见：元素如等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。注意：AB可乘条件是A的列数的行数。例2：2-1已知A=-40B=7-931,-810求AB和BA2X7+C1)X(-8)2X(-9)+(-1)X10

4、22-28解：AB(-4)X7+0X(-8)(-4)X(-9)+0X10=-28363X7+1X(-8)3X(-9)+1X1013-17B的列数HA的行数BA不可乘，故BA无意义。(2)运算法则乘法满足：1°结合律(AB)C=A(BC),(KA)B=K(AB),(K常数)2°左分配律A(B+C)=AB+AC右分配律(B+C)A=BA+CA乘法不满足：1°交换律ABHAC2°消去律AC=BA且CH0,不能推出A=B(1)当AB=BA吋，称A、B可交换1.矩阵的转置：anai2a】n(1)定义：a2i3.223加设A为mxn矩阵,At=把A的行、列按原顺

5、序互换得到nxm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵,记作AT,即Z=andnlQ12a】。如1：A—12314456,则At=25QnlQin36(2)运算法则(At)=A(A+B)t=At+Bt(KA)t=KA]r(K常数)(AB)t=BtAt三、特殊矩阵：特殊矩阵都是方阵，常见的有以下五种：1、单位矩阵：主对角线上元素都是1,其余元素全是零的n阶方阵，称为n阶单位矩阵记为I为In即In=1]001对任何矩阵Amxn,有IinAmxn=AmxnIinAmxnIin=Amxn若A为n阶方阵，有IA=AI=A并规定A的零次幕为I,即A°=I2、数量矩阵：主对角

6、线上的元素为同一个非零数，其余元素全是0的矩阵K0称为数量矩阵，记为KI。3、对角矩阵主对角线上元素不全为零，其余元素全是零的n阶矩阵d%00dn称为对角矩阵4、三角形矩阵主对解线下方的元素全为0的方阵ana12aln3-220细称为上三角形矩阵。主对角线上方的元素全为0的方阵3.H03.213.92餉氐称为下三角形矩阵上、下三角形矩阵绕称为三角形矩阵。5、对称矩阵设n阶方阵A=（业）n,若满足At=A,则称A为对称矩阵。用这定义可判别或证明…个矩阵是不是对称矩阵。例如：证明两个同阶对称矩阵和仍为对称矩阵。证：设A、B为同阶对称矩阵，则At=ABt=

7、A因（A+B）t=At+Bt=A+B故A+B为对称矩阵。四、矩阵初等行变换与矩阵的秩（一）矩阵初等行变换1.矩阵初等行变换是指：(1)对换变撫互换矩阵某两行的位置。(2)倍束变换：用非零常数遍乘矩阵某一行。(3)倍加变换：将矩阵的某一行遍乘一个常数K加至U另一行上。2.矩阵A经过初等行变换化为B,记作A->B注意：在A、B之间，不能用因为AHB,只能用“一”(二)阶梯形矩阵1.定义：满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：(I)各个非0行(元素不全为0的行)的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；(1)如果矩阵有0行(元素全为0的行)在矩阵最下方。

8、1-300和0-2010001例如：1-1230204005-2都是阶梯形矩阵。2.通过初等行变换,矩阵A可化为阶梯形矩阵。具体求法是：在矩阵A中，从上到下，逐行把每行中第一个非零元下的元素化为零，便得A的阶梯形矩阵。例如：化矩阵A为阶梯形矩阵。1-521-11-521-11-521-1A=016-7-55-»016-7-55->016-7-55-1-1154-40-1675-50000026-3-32016-7•-59000041-521-1016-7-550000400000上式最后一个矩阵就是所求的矩阵。(二)矩阵的秩：1.定义：矩阵A的阶梯形

9、矩阵中非零行的行数称为矩阵A的秩，记作秩(A)或r(A)。例如：在上例中，A的阶梯形矩阵中，非零行为3行，则