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1、强化数学思想方法应用提高数学解题能力数学思想方法是数学宝库中的重要组成部分，是数学学科赖以建立和发展的重要因素《九年义务教冇全日制初级屮学数学教学人纲》指出：“初屮数学的基础知识主要是初屮代数、儿何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这里把数学思想方法列为基础知识的重要组成部分体现了义务教育的性质任务，有利于揭示知识的梢神实质，有利于提高学牛.的数学素养。因此，在整个初中数学教学与考查工作屮，必然要把数学思想方法和知识，技能融为一体，放到突出的位置上。所以，在复习阶段，我们要通过基础知识的学习，通过例题、习题
2、的训练，领会其中数学思想方法的梢神实质，并在应用过程中形成习惯和观念，系统地掌握它们，以便今后在解题屮白觉地加以运以下几种基本的数学思想方法,它们是初中数学中应用较广n对将来数学学习影响较大的思想方法。］、方程思想所谓方程总贏是指把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。使用方程思想分析、处理问题，思路清晰、灵活简便，在探索解题思路吋，经常使用，尤其解决和等量有关的数学问题，非常有效。在考试卷屮考查方程思想的试题，随处可见，-•般主要有两类：一是列方程（组）解应用问题；二是列方程（组）解
3、其它代数题或儿何题。例1：已知X”刈是方程x2-2x-2=0的两个根，不解这个方程，求眉+3理的值。22解令A=——+3^2,B=——+Vxi+x2=2,xiX2=—2・・・A+B=2(-V+A)+3Cr；+€)（旺花）1(X
4、+x2)2XjX2+3(兀］+兀2)［(兀］+X2)2一3兀］兀2〕2Z-2(-2)=2.仔+3x2［f4AB=(4+)(4+3昇)=+6(x1+兀2)+(“2)一一59XyX；(兀1%2广/.A是方程x2-64x-59=0的根，解此方程得A二32±19巧此题的解法新颖、漂亮，充分体现了利用方程思想求解的优越性。例2：已知：如图
5、，在正方形ABCD屮，E、F分别是AB、AF:fQ上的点，又AB=12,EF=10oAAEF的面积等于五边形EBCDF面积的1/5。求/IAE、AF的长。ty解设AE=x,AF=yo1VZA=90°,.-.AE2+AF2=E『B1即x2+y=100（1）乂AAEF的面积二1/5五边形EBCDF的面积，•••△AEF的面积=1/6ABCD的面积。:.-xy=-xl22,即2兀y=9626(1)+(2),得(x+y)=196,•••x+y二14或一14(1)—(2),得(x—y)2二4,・・・x—y二2或一2解得x=8,y=6或x=6,y二8即AE=8,A
6、F二6或AE二6,AF=8此题是由勾股定理及血•积关系，建立起方程纽，由于题目中未说明AE、AF哪条人，因此应有两解。2、函数思想两数是中学数学的重要内容之一，函数的思想和方法已渗透到数学的各个方血，解题时,若能注意用函数的观点考虑问题，借助函数的性质来处理，常可使问题化难为易。例3：已知方程x'+bx+c二0的两根均大于1,则b+c+1的值()A.等于0B.大于0C.小于0D.不能确定分析：b+c+1恰为代数式x'+bx+c当x=l时的值,若令y=x2+bx+c,则b+c+1为当x=l时的函数值,由点(l,b+c+1)在象上的位置，使可判别b+c+1
7、的人小。解令：y=x2+bx+c,则当x=l吋，y二b+c+1T方程x'+bx+c二0的两根均人于1函数y=x2+bx+c与x轴的交点均在点(1,0)的右侧。又抛物线的开口向上，这样可得抛物线的人致图象(如上图所示)。由图象观察，知b+c+l>0。故选(B)3、数形结合思想数和形念数囱扁大柱石，一方面可使图形性质通过数量计算准确地表示岀來，这就是以数助形，另一方而对使抽彖的数量关系，通过图形形彖直观地表现出来，这就是以形助数。例4：如图，线段AB在x轴上,以AB为直径的圆交y轴于点C,已知AC=2V5,BC=75o⑴求A、B、C三点的坐标；(2)设二次
8、函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C,求这个二次函数的解析式；(3)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并画出略图；分析：这是一•道典型的数形结合的试题，解此题的关键是由形到数，再从数到形，反复运用。解(略)，答案是：⑴A(—4,0)、B(1,0)、C(0,2)193(2)所求二次函数为y=-x2--x+2；223253(3)顶点坐标为对称轴是x=--,图象略。282(4)当一40；当x=—4或1时，y二0；当x<-4或x>l时,y<0例5：若方程4x2-2x+k=0的一个根大于一3且小于1,另一根人于1且小于3,求k的取值范
9、布
10、。解令f(X)二4x'—2x+k,依题意f(x)的图象如右图所示。7(-3)>0/(1)<
