2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案

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1、附录1:2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题）1.不等式时一2/+1V0的解集为.2.在三棱锥P-ABC111，P4丄底面ABC,AC丄BC,AC=2f二面角P-BC-A的大小为60。，三棱锥P-ABC的体积为痙，则直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为3■3.当实数加变化时，不在任何直线2mx+（1—/）y—4加—4=0上的所有点（兀,丁）形成的图形的而积为・4.1)—00,2丿g（x）=x2-4x-4.设b为实数，若存ln(x+l),xG在实数a,使/（a）+g（b）=（）,则b的取值范围是填空题（每题6分，

2、共24分）5.已知Ovavl,分别在区间（0卫）和（0,4-d）内任取一个数，且収出的两数之和小于13的概率为△•贝恂的值为•166.设勺，s为平面上夹角为〃（0<^<-）的两个单位向量，0为平面上的一个固定点，-2P为'卜面上任意一点，当OP=xe}4-）：勺时，定义（x,y）为点P的斜处标.现有两个点A,3的斜坐标分别为（西』），（x2,y2）.则A,〃两点的距离为.7.若函数y=+的图象的对称屮心与y轴距离最小的对称轴为x=~,则实数血I4丿6的值为・8.已知集合A,3满足411〃={1,2,3,・・・,8},AQB=0.若A中元素的个数不是A中的元素，B中元素的个数

3、不是3中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为解答题（共56分）5.(13分)设agR>函数/(%)=>/2sin2兀cosa+V2cos2xsina-V2cos(2x+a)+cosa,（i）若处［雳］求/（x）在区间0冷上的最大值.（2）若/（x）=3,求&与x的值.226.（13分）已知双

4、111线二-与=1（a〉0,b>0）的两条渐进线的斜率之积为-3,左cT右两支上分别由动点A和B.（1）设直线AB的斜率为1,经过点D（0,5a）,且AD=WB,求实数2的值.（2）设点4关于兀轴的对称点为M.若总线ABfMB分别与兀轴相交于点P,0,O为坐标原点,证明

5、0円怏

6、

7、*7.(15分)已知了(兀)为R上的可导函数，对任意的xoeR,<00.(1)对任意的xoGR，证明：广(兀0)<―(x>0)；(2)若

8、/(x)

9、<1,xeR，证明

10、/'(x)

11、<4,xgR.12.(15分)已知实数列｛a〃｝满足

12、aj=l，

13、aw+1

14、=^

15、an,/?wN「常数q〉1•对任意的"wN+，/r+l有Zl^h4kl-设c为所有满足上述条件的数列{%}的集合.Jt=l(1)求q的值；加m(2)设匕},{’}wC,加wN+,且存在如＜m，使%丰九•证明:k=lk=(3)设集合九={£＞』{d”}wc},mgN+,求

16、A加中所有正数之和.附录2:2014年卓越联盟自主招生数学参考答案••选择题(注：原题是选择题)1.(1+亦JU12J<2丿答案:.提示：X2=

17、x

18、2,把原式视作卜

19、的三次多项式分解因式即可.答案：週.提示：仔细算算.3答案：4兀.提示：原式视作m的二次方程2-(2x-4)m+4-y=0,判别式v0即可.答案:[-1,5].提示：仔细算算.填空题答案2.3・4.5.6.答案7.答案答案解答题9.答案提示10.答案4提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题.-x2)2+(必+2(西一兀2)()[-y2)COS&.提示：显然.提示：仔细算算.提示：按A中元素个数(同=0,1,

20、2,…)逐个进行分类讨论.3244.2+cosa;(2)a=2k7r,(kwZ);z、sin2x+a——+cosa.o4丿(1)2=-；(2)提示：7(1)OP[OQ=xp^xQ兀J=/*乩3,•1.yA了)塔儿+儿,時=/+山即可.3兀=加+迹，/?eZ.82222厂%一勺儿2X-站11.提示:(1)即证/(x+xo)-/(x())-/,(xo)x>0,构造函数g(x)=/(x+x0)-/(x0)-/,(x0)x,对8(兀)求导证明g(x)在[0,+00)上单增即可.(2)由条件知厂⑴是R上的单增函数，故厂(X)不可能恒等于零.如果存在正实数力>(),及实数％,使

21、/,(x())=3,则对任意兀>0,+兀>8.贝U当max<0,-~

22、时，/(兀+兀())>5尤+/(心)>/•-―+f(xQ｝=,与条件矛盾..则当x

23、o/^^~1+=材条件也矛詹.故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都如果存在正实数/>(),及实数X。，使/©))=_》，则对任意x<(),存在歹€(兀+心心),满足几"+')-‘比)=厂(。v.厂(心).则当xvminJ0,仏凹J时，.(+叩>-1+亢叩>(")丿亿I总之，题目中的条件永远不成立.是真命题.5.提示：11(1)化简—q54/1、