2014年卓越联盟自主招生数学试题及答案

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1、2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试选择题(每题5分，共20分)(注：原题是选择题)1.不等式

2、x

3、5-2x2+1<0的解集为.2.在三棱锥P-ABC111，P4丄底面ABC,AC丄BC,AC=2f二面角P-BC-A的大小为6()。，三棱锥P-ABC的体积为土也，则直线"与平而P4C所成的角的I］滋值为33.当实数加变化时，不在任何直线2mx+(1-加2)y-4m-4=0上的所有点(x,y)形成的图形的而积为・2x+l(\—^―,xel-co,--I,4.己知两数/(X”%「1V&(兀)=兀2一4兀一4.设为实数，若存ln(x+l),xg——,+oo「L2丿在实数a,使/⑷

4、+g(Z?)=(),则b的取值范围是.填空题(每题6分，共24分)5.已知Ovavl,分别在区间(0卫)和(0,4-d)内任取一个数，且収出的两数之和小于1的概率为2.则。的值为.166.设勺，s为平面上夹角为〃(0<^<-)的两个单位向量，O为平面上的一个固定点，-2P为'卜面上任意一点，当OP=xe}4-)：勺时，定义(x,y)为点P的斜处标.现有两个点A,3的斜坐标分别为(西』)，(x2,y2).则A,〃两点的距离为.7.若函数y=+的图象的对称屮心与y轴距离最小的对称轴为x=~,则实数血I4丿6的值为・8.已知集合A,3满足411〃={1,2,3,・・・,8},AQB=0.

5、若A中元素的个数不是A中的元素，B中元素的个数不是3中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为解答题（共56分）1.(13分)设agR>函数/(%)=>/2sin2兀cosa+V2cos2xsina-V2cos(2x+a)+cosa,71兀4^2,求/（x）在区间0冷t:的最大值.（2）若/（x）=3,求&与x的值.10.（13分）已知双曲线9)广（a>0,b〉0）的两条渐进线的斜率Z积为-3,左右两支上分别由动点A和B.（1）设直线AB的斜率为1,经过点D（0,5a）,且AD=ADB,求实数2的值.（2）设点4关于兀轴的对称点为M.若总线ABfMB分别与兀轴相交于点P,0,O

6、为坐标原点,证明

7、0円怏

8、*11.(15分)已知了(兀)为R上的可导函数，对任意的xoeR,<00.(1)对任意的xoGR，证明：广(兀0)<―(x>0)；(2)若

9、/(x)

10、<1,xeR，证明

11、/'(x)

12、<4,xgR.11.（15分）已知实数列｛a”｝满足

13、^

14、=1,

15、d“+i

16、=q

17、a”

18、>«eN+,常数q〉1・对任意的neN+,/r+1有£i畋卜4庇

19、.设c为所有满足上述条件的数列匕｝的集合.Jt=l（1）求q的值；加m（2）设｛an｝,｛^｝eC,meN+,且存在n0

20、仇k=lk=（3）设集合％=

21、｛£色

22、仏｝丘4，加wN+，求%中所有正数之和.附录2:2014年卓越联盟自主招生数学参考答案••选择题（注：原题是选择题）1.(1+亦JuI2J<2丿答案:.提示：X2=

23、x

24、2,把原式视作卜

25、的三次多项式分解因式即可.答案：週.提示：仔细算算.3答案：4兀.提示：原式视作m的二次方程2-（2x-4）m+4-y=0,判别式v0即可.答案:[-1,5].提示：仔细算算.填空题答案2.3・4.5.6.答案7.答案答案4提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题.-x2）2+（必+2（Xj-x2）（yI-y2）cos^.提示：显然.提示：仔细算算.提示：按A中元素个数（同=0,1,2,…

26、）逐个进行分类讨论.3244.解答题9.答案提示10.答案2+cosa;(2)a=2kn,(kwZ);、Tt■J4丿(1)2=三；(2)提示:心九一心办心儿+乙为：0yA‘為儿+儿,兀2=/+山即可.3(1)/(x)=2sin2x+a-—+cosa•‘・2I7OP[OQ=xp^xQXJ=/*3兀=加+迹，/?eZ.82222厂%一勺儿2儿-财11.提示:(1)即证/(x+xo)-/(x())-/,(xo)x>0,构造函数g(x)=/(x+x0)-/(x0)-/,(x0)x,对8(兀)求导证明g(x)在[0,+00)上单增即可.(2)由条件知厂⑴是R上的单增函数，故厂(X)不可

27、能恒等于零.如果存在正实数力>(),及实数％,使/,(x())=3,则对任意兀>0,+兀>8.贝U当max<0,-~

28、时，/(兀+兀())>5尤+/(心)>/•-―+f(xQ｝=,与条件矛盾..则当x

29、o/^^~1+=材条件也矛詹.故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都如果存在正实数/>(),及实数X。，使/©))=_》，则对任意x<(),存在歹€(兀+心心),满足几"+')-‘比)=厂(0v.厂(心).则当xvminJ0,仏凹J时，.(+叩>-1+