2014年卓越联盟自主招生数学试题及答案.docx

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1、2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题）1.不等式的解集为_____________．2.在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，三棱锥的体积为，则直线与平面所成的角的正弦值为________．3.当实数变化时，不在任何直线上的所有点形成的图形的面积为_____________．4.已知函数．．设为实数，若存在实数，使，则的取值范围是___________．填空题（每题6分，共24分）5.已知，分别在区间和内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为．则的值为_______________．6.设，为平面上夹角为（）的两个单位向量，

2、为平面上的一个固定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标．现有两个点，的斜坐标分别为，．则，两点的距离为______________．7.若函数的图象的对称中心与轴距离最小的对称轴为，则实数的值为_____．8.已知集合，满足，．若中元素的个数不是中的元素，中元素的个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为___________．解答题（共56分）1.（13分）设，函数，．（1）若，求在区间上的最大值．（2）若，求与的值．2.（13分）已知双曲线（，）的两条渐进线的斜率之积为，左右两支上分别由动点和．（1）设直线的斜率为1，经过点，且，求实数的值．（2）设点关于轴

3、的对称点为．若直线，分别与轴相交于点，，为坐标原点，证明．3.（15分）已知为上的可导函数，对任意的，有，．（1）对任意的，证明：（）；（2）若，，证明，．1.（15分）已知实数列满足，，，常数．对任意的，有．设为所有满足上述条件的数列的集合．（1）求的值；（2）设，，，且存在，使．证明：；（3）设集合，，求中所有正数之和．附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考答案选择题（注：原题是选择题）1.答案：．提示：，把原式视作的三次多项式分解因式即可．2.答案：．提示：仔细算算．3.答案：．提示：原式视作的二次方程，判别式即可．4.答案：．提示：仔细算算．填空题5.答案：．提示：可

4、转化为“线性规划+几何概型”问题．6.答案：．提示：显然．7.答案：．提示：仔细算算．8.答案：44．提示：按中元素个数（,,,…）逐个进行分类讨论．解答题9.答案：（1）；（2），（）；，．提示：．1.答案：（1）；（2）提示：，再带入，即可．2.提示：（1）即证，构造函数，对求导证明在上单增即可．（2）由条件知是上的单增函数，故不可能恒等于零．如果存在正实数，及实数，使，则对任意，．则当时，，与条件矛盾．如果存在正实数，及实数，使，则对任意，存在，满足．则当时，，与条件也矛盾．总之，题目中的条件永远不成立．故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题．3.提示：（1

5、）化简，可得对任意正整数成立，左边在无穷大时是无穷小，所以．（2）方法一：假设是1，2，3，…，中满足中的最大角标．则．方法二：假设是1，2，3，…，中满足中的最小角标，则（）．（3）显然的前项和是正数，当且仅当，此时（，，…，）的符号随意．即：，，，…，，．这样的数列共有个，若与符号相反，则进行配对（，，…，）．于是，中所有元素之和为．说明：（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之．（2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路，应注意掌握．实际上，前者对应于的

6、欧几里得赋值，后者对应于的赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大．