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1、2011年“卓越联盟”自主招生笔试试卷评析与思考蔡丽冰陈淑贞陈清华福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)高考和自主招生同时出现在这个时代的舞台上,不可避免地要被一些教育工作者进行比较.在笔者眼里它们就好似雪与梅,正所谓“梅须逊雪三分白,雪却输梅一段香”,高考和自主招生在为高校选拔人才上各自扮演着重要的角色.当然,自主招生作为一种新的高校招生方式受到不少高校的青睐,这几年越来越多的高校加入自主招生的行列,并组成各自的联盟.下面就四大联盟之一——“卓越”联盟2011年自主招生的相关信息作一介绍.一、考试概述2010年12月,北京理工大学、重庆大学、
2、大连理工大学、东南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大学、天津大学、同济大学、西北工业大学9所以工科见长的国家“211工程”和“985工程”重点建设高校,签署了《卓越人才培养合作框架协议》.本着“追求卓越、共享资源”的原则,9校成立了“卓越人才培养高校”,被媒体简称为“卓越联盟”.2011年2月26日“卓越联盟”展开第一次自主招生考试,在全国各地均设立了考点,如福建省的考点设在福州.考生自由选择考点,可同时填报两所志愿学校.今年,共有三万多名考生参加“卓越联盟”9校联考.考试在一天内完成,数学科目被安排在当日下午,考试时间为90分钟.考试由第三方机构命题,考
3、题呈现工科学校的选拔特色,注重考查考生综合素质和能力,关注学生的数学素养.获得认可的考生录取优惠最高可达40分.二、试卷评析下面先给出“卓越联盟”自主招生2011年数学试卷评析.(1)向量,均为非零向量,,则,的夹角为（）.(A)(B)(C)(D)评析:本题可直接根据向量数量积的定义计算,求得,的夹角为.试题难度不大,考生解题时容易入手.(2)已知,则等于（）.(A)(B)(C)(D)评析：这道题考查三角函数中的基本公式以及正余弦的和差角公式,虽是一些基本公式的运用但突出考查了学生化归与转化的思想,值得注意的是考生容易跳进正切函数和差角公式的陷阱,实际上
4、只要化切为弦,利用正余弦函数的和差角公式,通过一定的计算就可以得到答案为D.(3)在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为（）.(A)(B)(C)(D)评析：本题考查的是异面直线夹角的求法,解题方法和思路很常规,将异面直线平移到同一个平面后易求得异面直线与所成角的正弦值为.求解过程将三维正方体问题转化为平面上解三角形的问题,需要考生的空间想象能力.(4)为虚数单位,设复数满足,则的最大值为（）.(A)(B)(C)(D)评析：本题的亮点是将复数与最值交汇,乍看下,比较繁杂,但通过“分母有理化”后便可转化为.此题可将模长化为利用均
5、值不等式,用代数法求解；还可将模长化为,转化为点与点的距离,利用数形结合思想,将代数问题几何化,可得最大值为.较于高考题,不难看出对考生计算能力的高要求.(5)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在直线的方程为,则抛物线方程为（）.(A)(B)(C)(D)评析：本题借助直线与抛物线相交、联立方程组、重心的性质等知识便可求得抛物线方程为.试题融合解析几何和平面几何知识点,突出考查数形结合思想、函数与方程思想.试题考查的虽是基础知识,但解题过程就像一条羊肠小道,需要考生一定的积累和数学能力.(6)在直三棱柱
6、中,底面边长与侧棱长均等于,且为的中点,则点到平面的距离为（）.(A)(B)(C)(D)评析：求点到面的距离是立体几何中的常见题型,本题没办法直接作出点到平面的垂线段,需间接利用等体积法,可得距离为,考查了学生化归与转化的思想和空间想象能力.本题还可建系,通过三点式平面方程以及点到平面的距离公式求解.(7)若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为（）.(A)(B)(C)(D)评析：依托方程根的求解问题,本题考查分类与整合思想.化简绝对值将原方程转化为一元二次方程,再讨论根的情况:当时,是方程的一个解,当时,有一正根,当时,必须要有两个负根,分类讨论
7、得.分类复杂,考查学生代数推理能力.(8)如图,内接于⊙,过中点作平行于的直线,交于,交⊙O于、,交⊙在A点的切线于,若,,,则的长为（）.(A)(B)(C)(D)评析：本题将圆与直线的相关性质发挥得淋漓尽致.利用,求得,再通过相交弦定理与射影定理求得.本题将直线与圆相切、三角形相似、相交弦定理、射影定理巧妙地融为一体,能全面考查考生观察问题、分析问题的能力和运算求解能力.(9)数列共有11项,,,且．满足这种条件的不同数列的个数为().(A)100(B)120(C)140(D)160评析：本题突出考查考生应用数学知识和数学思想方法分析、推理、解决问题的
8、能力.设问的方式新颖,以数列为背景考查计数问题,是一道数列与组合内涵交汇的好题.
