1.匀速圆周运动中的机械能守恒问题（参数方程法）

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1、1.匀速圆周运动中的机械能守恒问题李学生（山东人学物理学院山东济南250100）摘要：重新解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小午上，匀速圆周运动物体机械能都守恒的新结论.关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，问：小球在地血系（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和沿x轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系（Oi・xy）,机械能是否都守恒?解析：由于本题假定地球质量充分

2、大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.1、在地面系——设初相为0,wcoR,x二Rcoscofy=Rsincofx,=-Rcosincuty-Rcocoscot2x‘二Recoscot,Ek(t)=-mW'2+〃2丿二丄rn^co221o=—mR^co+—mu^+mRixcosincot.2d£pi(t)=—fxdxi—fydyi=mRcocoscotd(RcoscoZ-uf)+mRcosina)td(Rsincot)=d(—mR2co2cos2cot+—mR2co2sin2cot-mRucosincot)=d(—n

3、R2co2-n^ucosincot)..22dEp(t)=—fydx—fydy^mR^cosojtd(Rcoscot)+mRco^sincotd(Rsincot)11cosa)t+—mRrcosincot)=0.22设Ep⑴=0,所以E(t)=Ep(t)+Ek(t)=ymv2.乙这说明在地面系机械能守恒，恒量为丄加沪.22、小车系直觉判断:因为当质点的运动速度为垂直于x轴时，我们规定此时地面系与小车系的势能相等，与地面系比较可以得出质点的动能增加丄所以在小车系看来，质点的机械22能为：所以，对于小车系上，质点的机械能守恒，守恒值为冷+冷.数学推导:将运动方程作

4、伽利略变换，写出小车系运动方程:X]=x-ut=Rcoscof-wfyi=y=Rsincotx=x-u=-Rcosincot-uy=y-Rcocoscotx"]=xf,=-Rco2coscot,y"i=y"二-Rco2sincot_2{^-fxi=fx=mx—_mRcucoscotfyi=fy=my"=-mRco2sincot£"ki(O=—m(x/2+y/2)=丄m(・Rov诚oi)2+丄m^a^co^CDt222Epi（/）=^-mR26o2-mRucosincot.当“=0时，地面系与小车系的势能相等，也符合玻尔的对应原理.所以E"=EM）+EkQ=

5、

6、mv2+1mir.JJ这说明在沿X方向匀速运动的小车系机械能也是守恒的，恒量为丄加沪+丄mir,当22然两个守恒塑不相等，比地面系多出-mu1.当u二0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合2玻尔的对应原理.定理：质点做匀速圆周运动的约束力是一个保守力，可以同时改变质点的动能和势能，但不改变质点的机械能.另证：在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动.因为尸与矢量尸共线，质点只能在垂直于动量矩/的平面内运动，因此只要用两个坐标（X」）或（厂,&）来研究它的运动.有心力是保守力，利用保守力的判据▽xF=O.因为它一定存在势能V,且^=_vv因为势能差与原点选取无关

7、，故可写出：（匕-《）这时势能函数V当然也只是矢径r的函数，即V=VZ&）•至于机械能守恒定律当然也成立，具体表达式是.其屮zzz（/-2+尸2&2）+V（厂）=EE是质点总能，它是一个常数.有些分析力学教材认为光滑约束中的约束反力与实位移垂直，约束反力不做功，这是不完善的，因为约束反力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，完整的表述应该为一一光滑约束中的约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的惯性系了.直线匀加速度参考坐标系和匀角速度定轴转动参考坐标系，其惯性力为保守力，可以证明此时在非惯性系里光滑约束中的约束反力也不改变质点的机械能•在本题

8、中的约束力是弹力，进一步验证了弹力是保守力，类似于弹簧振子约束力和保守力是同一个力，不过在这里轻绳可以看做劲度系数是无穷人的弹簧，忽略形变.有的力学教材中有这样一个实例一一在一个相对于地面匀速上升的电梯底部静止放置一个物体（视为质点），在电梯内的观察者看來，没有任何力对质点做功，动能和势能（収电梯的底部为势能零点）均为0,机械能守恒；在地面的观察者看来，电梯底部对于质点的支持力做功，动能不变，势能不断增加（取地面为势能零点），机械能不守恒.其实这种分析是错误的，在这里约束力也是一个保守力，质点受到的合力为0,总势能不变，因而机械能也不变，在这个问题屮机械能守恒

9、定律满足力学相对性原理.说明：1.前面