完善代数式及其运算的知识结构

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1、完善代数式及其运算的知识结构人教版《义务教育教科书数学》八年级下册第16章“二次根式“介绍绍章建跃(人民教育出版社中学数学室)因为字母符号表示数，所以我们可以将字母和数(实际上都是符号)一起进行各种各样的运算，而且在运算上满足运算律。前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，从中可以发现，式的运算在本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算。例如，两个多项式相乘，就是利用分配律把它归于单项式的乘积之和来运算，而单项式的乘积则是用乘法的交换律、结合律和指数运算法则来计算。本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式

2、的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。1内容概述在“实数”一章中，学生已经学习了平方根、算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法。在此基础上，本章将进一步研究二次根式的概念、性质和运算，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，培养学生的符号意识和运算能力。本章重点是二次根式的运算和运算法则；难点是在理解二次根式

3、的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯。实际上，运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，这也是在整个“数与代数”领域中需要注意的问题。关于本章中如何加强符号意识、运算能力的培养问题，我们在后面的教学建议中再来讨论。本章分为三节。第1节研究二次根式的概念和性质。教材通过几个具体问题，引导学生根据已学的平方根和算术平方根知识写出结果，并概括它们的共同特点，引出二次根式的概念。理解被开方数不能是负数的要求是理解二次根式概念的关键，教材结合例题对此进行了具体分析。一般地，代数学的研究遵循“概念一性质一公式”的路线，因此教

4、材接着采用从具体到抽象的方法，归纳出二次根式的性质=a(a≥0)，并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析。对于另一条性质(a≥o)，教材采用了同样的处理方式。在二次根式的运算中，乘除运算比加减运算更容易，并且是加减运算的基础，因此教材在第2节安排二次根式的乘除。显然，运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则、除法法则。最简二次根式的概念是加减运算的基础，实际上也是对二次根式运算结果的一种要求，同时也为二次根式的运算明确了方向。第3节是二次

5、根式的加减运算。将二次根式化为最简二次根式后，二次根式的加减运算实际上就是对被开方数相同的二次根式作“合并同类项”。由于“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，因此二次根式的加减运算实际上是利用了分配律。教材按照这样的思路，采用归纳的方法，从特殊到一般，引导学生概括了二次根式加减运算法则，并通过几个二次根式混合运算的例题引导学生认识二次根式的性质和运算法则、整式的性质和运算法则之间的一致性。2编写时考虑的主要问题本章是初中阶段“数一式”内容的最后一章。实际上，二次根式并不是一个全新的概念，它是一个非负数，是非负数的算术平方

6、根概念的一般表示。因此，本章内容的核心是以“二次根式”这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑相容性，体会数系运算律在代数中的基础地位。2．1一以贯之地进行代数基本思想和方法的教学我们知道，“代数学的根源在于代数运算，也即加、减、乘、除、乘方、开方等。所有能用代数运算表达的问题统称之为代数问题。”而“学习代数学，就是要学会善用运算律去有效、有系统地解决多种多样的代数问题。”前面，学生在“有理数”一章进行了较系统的“数及其运算”的学习，初步建立了研究数系扩张、运算法则和

7、运算律的基本套路，为后续学习奠定了必要的代数基本思想和基本方法的基础。在“实数”一章中，借助完全平方数、完全立方数，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法；借助、π的几何表示，以及用有理数逼近等方法，学生对实数的概念和运算有了初步体会。在“整式的加减”“整式的乘法与因式分解”“分式”等章中，学生学习了式的运算法则以及用运算律进行式的运算的方法，这些都为本章的学习打下了思想方法的基础。二次根式作为一类特殊的数，为学生进一步理解实数及其运算提供了载体。因此，如何使学生在本章的学习中进一步体会代数学的基本思想和基本方法是编写时考虑的一个核

8、心问题。具体做法上，遵循如下思路展开：二次根式的概念(定义研究对象)一二次根式的性质一二次根式的运算(运算法则和运算律的应用)．其中，“概念”“性质”是“运算”的基础，在“运算”中自然地提出“如何算”的问题，并运用运算律