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1、浅谈定积分的对称性周莉学号:09003035（巢湖学院数学系安徽巢湖238000）摘要：定积分在积分学中占有非常重要的位置，而且它的计算相对来说比较的麻烦，所以为了使定积分的有关计算变得简单一点，我们需要用到定积分的一些性质。本文在原有的学习的相关知识的基础上，归纳总结了对称性在积分运算中的应用，同时也给出了对称性在定积分以及二重积分运算中的有关定理、推论和一些应用。在本文中充分地体现了在积分运算中定积分的对称性所带来的方便，使其达到了简化积分运算的目的。这个对于积分运算的解答和数学理论的研究来说，都有着非常重要的意义。关键词：定积分；对称性；奇函数；偶函数OntheSymmet
2、ryoftheDefiniteIntegralZhouLiStuNo:09003035（DepartmentofMathematics,Chaohucollege,ChaohuAnhui238000）Abstract:Thedefiniteintegralintheintegralcalculusoccupiedaveryimportantposition,anditscalculatingrelativelytrouble,soweneedtousesomepropertiesofdefiniteintegraltomakesomemorecomplexcomputationb
3、ecamesimplified.ThispaperUSESmathematicalanalysisoftheintegralsummarizedtheapplicationintheintegralcomputationsymmetry,andgivesthesymmetryindefiniteintegral,thedoubleintegraloperationrelatedtheoremandapplication.Fullyembodiesthesymmetryintheintegraloperationbringconvenience,achievedthepurpose
4、ofsimplifiedintegraloperation.Thispointformathematicaltheoryresearchandintegralcomputationsolutionsareofsignificance.Keyword：definiteintegral;symmetry;oddfunction;evenfunction引言 数学的对称美是解决数学难题的关键，同时也为数学研究提供了一种独特的方法。对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性。其定义用集合语言刻画如下:设给定一个集合M,在其内考虑元素间的某些关系,并设P是M的一个子集,对于M的一个可容许变换
5、A,称集合P是对称的或不变的,若变换A把集合P中的每一点仍变为P的点。有关数与形的对称在积分学中极为常见,许多问题初看起来似乎难以解决,不易下手,但一旦恰当地利用了某种对称性,这个复杂的计算问题就变得异常简单。本文的第一部分先介绍了定积分的概念，12然后从定积分的对称性出发，将定积分的对称性运用到一些例子中，使其运算变得简便。再作进一步推广,得到几个更一般性的结果,将这些结果应用于某些定积分的计算将十分方便。最后再将对称性推广到二重积分中，使其有更广泛的应用。一、定积分的概念定积分是积分学的基本内容。从历史上说，定积分的概念是从一系列诸如求面积、体积等几何问题和变力做功等力学等问
6、题中提炼出来的，最后归结为计算既有特定结构的和式的极限。定义1.1：设闭区间上有n-1个点，依次为它们把分成个小区间.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记为或.小区间的长度为并记称为分割的模。定义1.2：设是定义在上的一个函数。对于的一个分割，任取点并作和式称此和式为函数在上的一个积分和。定义1.3：设是定义在上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要就有则称函数在区间上可积；数J称为在上的定积分，记作12其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限。以上定义1到定义
7、1.3是定积分概念的完整叙述。一、定积分的对称性（一）定积分的对称性的性质性质1：设函数在区间上可积：（1）如果为偶函数，则（2）如果为奇函数，则即证明：因为对积分作代换,则有所以如果为偶函数，则从而如果为奇函数，则12从而证毕。我们在做题目的时候，凡是遇到积分区间关于原点对称的定积分问题，首先要考虑是否能够用定积分的对称性将其化简。例题1：解：因为是偶函数，是奇函数所以是奇函数，由根据定积分的对称性得例题2：计算积分解：令则其中为偶函数，则：令，则12例题3：求定积分解：因为是
