重难点解析：一元函数微分学

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1、重难点解析：一元函数微分学第1章函数1．理解函数概念理解函数概念时，要掌握函数的两要素¾¾定义域和对应关系。为此要解决下面四个方面的问题：（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。例1求函数的定义域。解：的定义域是；的定义域是，但由于在分母上，分式的分母不为0，因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即。（2）理解函

2、数的对应关系的含义。表示当自变量取值为时，因变量的取值为。例如，对于函数=，表示运算：于是，，。例2设，求。解：由于，说明表示运算：，因此＝13再将代入，得=（3）会判断两函数是否相同。从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应关系相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。例3下列函数中，哪两个函数是相等的函数：A.与B.与解：A中的两个函数定义域相同，对应规则也相同，故它们是相等的函数；B中的函数的定义域是，而的定义域是,两个函数的定义域不同，故它们是不相等的函数。（4）

3、了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。例4设，求函数的定义域及。解：函数的定义域是，,。2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若，则为偶函数；（2）若，则为奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数为偶函数”的性质来判断。例5下列函数中，（）是偶函数。13A.B.C.D.解：根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则，可以

4、验证A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数，因此A正确。既然是单选题，A已经正确，那么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。请大家判断以下，选项B，C，D是不是奇函数。3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解例6将复合函数分解成简单函数。解：令，则；，则所以，函数由简单函数复合而成。4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形。基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及图形微积分常要用到，一定要熟练

5、掌握。5．了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念6．会列简单应用问题的函数表达式例7生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：（1）生产件该种产品的总成本和平均成本；（2）售出件该种产品的总收入；（3）若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？13解：（1）生产件该种产品的总成本为；平均成本为。（2）售出件该种产品的总收入为。（3）生产件该种产品的利润为＝＝第2章一元函数微分学1.掌握求简单极限的常用方法。求极限

6、的常用方法有（1）利用极限的四则运算法则；（2）利用两个重要极限；（3）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；（4）利用连续函数的定义。例1求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即===（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即（3）利用第二重要极限计算，即13＝。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即：=1注：其中当时，，都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无

7、穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即＝2.知道一些与极限有关的概念（1）知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；例2填空、选择题（1）下列变量中，是无穷小量的为（）A.B.C.D.解：选项A中：因为时，，故，不是无穷

8、小量；13选项B中：因为时，，故是无穷小量；选项C中：因为时，，故；但是时，，故，因此当时不是无穷小量。选项D中：因为，故当时，，不是无穷小量。因此正确的选项是B。（2）下列极限计算正确的是（）。A.B.C.D.解：选项A不正确。因为不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即选项B正确。将分子、分母同除以2x，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到选项C不正确。因为，故不能直接用极限的减法运算法则，即选项D不正确。可以分成两项乘积，即=13其中第一项==而第二项故原算法错误。正确选项应是B。（3）当（