课时10平面向量的概念及其线性运算

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1、第10课时平面向量的概念及其线性运算【课前自主探究】※考纲链接（1）了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义。（2）掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义。※教材回归◎基础重现：1．向量的有关概念：（1）向量：，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：，记为，其方向是，与任意向量平行。（3）单位向量：，向量为单位向量（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量。任意一组平行向量都

2、可以移到同一直线上，故平行向量也称为。（5）相等向量：。相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。2．向量加法的两个法则（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点，和向量是；而差向量，方向是.（2）三角形法则的特点是首尾相接，由第一个向量的指向最后一个向量的的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的指向被减向量的3．向量的减法（1）相反向量：，叫做的相反向量，记作，零向量的相反向量仍是零向量.（2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：，求两个向量的运算，叫做向量的减法共同起

3、点、的差表示从的终点指向的的向量。4．实数与向量的积：（1）实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，；当时，（2）向量数乘满足的运算律有：交换律、结合律与分配律5．两个向量共线定理：向量与非零向量共线基础重现答案：1.（1）既有大小又有方向的量（2）长度为0的向量任意的（3）模为1个单位长度的向量｜｜＝1（4）共线向量（5）长度相等且方向相同的向量2．（1）始点与已知向量的始点重合的那条对角线另一条对角线从减向量指向被减向量（2）起点终点终点

4、终点3．（1）与长度相等、方向相反的向量（2）差终点4．（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）λ的方向与的方向相反，方向是任意的5．有且只有一个实数，使得=◎思维升华：1．如何理解与任一向量平行？2．向量中的“共线”与几何中的“共线”有何区别？3．在进行向量加法时，如何选择平行四边形法则和三角形法则？思维升华答案：1．由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）2．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须

5、区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．3．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．※基础自测1．有下列命题：①ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；③向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行。其中正确的是（填序号）答案：③解析：①中的ｂ可

6、以是0，则ａ与c不一定共线；②中的两个向量可能在一条直线上；③中的两个向量如果有一个为0，则它们必共线；④中共线向量也是平等向量。2．化简-++的结果等于答案：解析：-++=+-=+=。3．e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于答案：解析：可设a=b，则e1+ke2=（ke1+e2），即，解得k=。4．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于________．答案：a+c-b解析：结合图形有=a+c-b.5．

7、设平面内有四边形ABCD和点O,=a,=b,=c,=d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是。答案：平行四边形解析：由a+c=b+d得a-b=d-c，则-=-，即=，该四边形为平行四边形。【课堂师生共探】※经典例题○题型一有关向量的概念问题例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则

8、终点一定不同。分析：解决本题主要是对向量中涉及到的相关概念要多加体会，仔细探究。解：④⑤正确；①②③⑥不正确。解析：①共线向量不一定在一条直线上；②单位向量仅仅是长度相等，但方向不一定相同；③是的相反向量，但它们相等；⑥只要两个共线向量的长度不相等，它们就可以起点不同，担终点相同。点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善