平面向量的概念及其线性运算(III)

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1、第一节平面向量的概念及其线性运算平面向量有关概念的理解给出下列命题：①若

2、a

3、＝

4、b

5、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

6、a

7、＝

8、b

9、且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.分析在正确理解有关概念的基础上，注意特殊情况是解决问题的关键．解①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则因此，③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又

10、b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使

11、a

12、＝

13、b

14、，也不能得到a＝b，故

15、a

16、＝

17、b

18、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．若b＝0，则a与c不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.规律总结上述五例都是考查向量的基本概念和简单性质．向量的基本概念和性质是研究和应用向量解决问题的基础，所以要理解并熟悉它们．由于向量的相关概念和性质较多，所以复习时，要注意构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想，以便于记忆和理解．变式训练1下列各命

19、题中，正确的有．①零向量没有方向．②向量就是有向线段．③单位向量都相等．④两相等向量若共起点，则终点也相同．⑤若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点．【解析】①不正确，零向量方向任意．②不正确，有向线段是向量的一种表示形式．③不正确，单位向量的模为1，方向不定．④正确．⑤不正确，A、B、C三点还可以共线．【答案】④平面向量的线性运算(精选考题·苏州调研)已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：分析依据平面向量的加减法则，可以有多种证法．方法一，用两种途径表示向量，再求和得向量的表达式．方法二，作两条辅助线，用辅助线确定的向量进行代换

20、．证明方法一：如图所示，∵E、F分别是AD、BC的中点，②由①＋②得，①同理方法二：如图所示，连接则规律总结在证明向量关系式时，首先根据向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，找到相关向量的一些关系式，再以欲证式子为目标进行代换或变形．要注意充分利用所给平面图形中的几何性质设置向量，并表述相应的运算．变式训练2如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若，试用a，b将向量表示出来．【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成▱ABCO，所以，所以，所以.由于A，B，O，F四点也构成▱ABOF，所以同理，在▱BCD

21、O中，=b＋(a＋b)＝a＋2b，平面向量的共线问题(1)求证：起点相同的三个非零向量a，b,3a－2b的终点在同一条直线上．(2)设非零向量a、b不共线，c＝ka＋b，d＝a＋kb(k∈R)，若c∥d，试求k.分析(1)设出共同起点和三个向量的终点，证明由两终点决定的向量共线．(2)利用c∥d和平行向量定理，找到非零向量a、b的线性关系，由不共线得方程组，求k.(1)证明：设起点为O，O＝a，O＝b，O＝3a－2b，则，公共点A，∴A，B，C三点共线，即向量a，b,3a－2b的终点在同一直线上．(2)∵c∥d，∴由向量共线的充要条件得：c＝λd(λ∈R)

22、，即ka＋b＝λ(a＋kb)，∴(k－λ)a＋(1－λk)b＝0.又∵a、b不共线，∴由平面向量的基本定理得⇒k＝±1.共线且有规律总结(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点．(2)由向量平行，求相关系数的一般方法是：先由平行向量定理找到两不共线向量的线性关系，从而得实数方程，通过解方程求得未知数．变式训练3设e1，e2是不共线的向量，已知向量，若A，B，D三点共线，求k的值．【解析】∵A、B、D三点共线，设又∵，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，得λ＝2，k＝－4λ，∴k＝－8.平面向量性质的应用(12分

23、)已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且的值．分析根据重心的性质，同时用向量表示.由共线，得的线性关系，从中得到x，y的关系，最后求的值．解根据题意G为三角形的重心，，，2分4分由于M与G共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得，即7分即9分因此，即x＋y－3xy＝0，11分两边同除以xy整理得.12分规律总结通过向量的线性关系，求未知数的值，首先要充分利用平面几何图形的性质，找到向量的线性关系，这个关系，往往通过向量共线或平行得到；再利用共线向量定理得未知数的关系，从而求值．变式训练4已知a、b是两个不共线的向

24、量，若它们起点相同，a，b/2，t(a＋b)三向量的终点在一条直线