空间向量与立体几何(2)

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1、【同步教育信息】一.本周教学内容：第三章 空间向量与立体几何   3.1 空间向量及其运算  二.教学目的1、掌握空间向量的相关概念及基本性质2、掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及它们的运算律3、掌握空间向量的直角坐标运算及相关公式 三.教学重点、难点●理解空间向量与平面向量在概念与性质及运算规则上的区别与联系，掌握空间向量的各种概念、性质、运算规则。 四.知识分析1、空间向量的概念及其加减与数乘运算（1）在空间，具有大小和方向的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。我们规定起点与终点重合的向量叫零向量，记为；模为1的向量称为

2、单位向量；与模相等但方向相反的向量称为的相反向量．（2）空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广．（3）空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：      2、空间向量的基本定理（1）如果表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量；（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的．（3）共线向量定理：对空间任意两个向量, 的充要条件是存在实数x，使；推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实

3、数t，使．其中向量 叫做直线l的方向向量。（4）共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量 与向量 , 共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使。推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y，使；或对空间任一定点O，有；或（其中x+y+z=1）。（5）空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。   说明：表达式叫做向量，，的线性表示式或线性组合；空间向量分解定理告诉我们，如果三个向量，，不共面，则，，的线性组合能生成所有的空间向量，这时，，叫做空间的一个基底，记做{

4、，，}，其中，，都叫做基向量。3、另外需要注意：（1）顺次连结空间中n个向量的终点、始点，若能构成一个封闭图形，则它们的和向量为零向量。（2）证向量共面的关键是找到实数或实数对x、y。（3）以下图形的向量结构，在几何题的证明中常被采用，我们必须熟悉和掌握：①平行四边形ABCD中，和的向量表示，；②平行六面体的对解线向量，对于向量、和的分解式=++；③三角形ABC中BC边上的中线向量对向量、的分解式；④在四面体OABC中，G为三角形ABC的重心，则向量对于向量、和的分解式。4、两个向量的夹角如图，已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则叫做向

5、量，的夹角，记作＜，＞。我们规定：0≤＜，＞≤π，且＜，＞＝＜，＞如果＜，＞＝900，那么向量与互相垂直，记作⊥。5、两个向量的数量积空间两个向量，的数量积（或内积）定义为性质：（1）      （2）⊥      （3）      （4）运算律：（1）（2） （交换律）（3）  （分配律）说明：（1）利用向量的数量积可以解决几何中垂直问题，夹角及距离问题等，其主要根据就是向量运算的几何意义，在具体应用中要注意以下几点：   ①垂直问题两向量数量积为零，注意零向量②求角问题两向量的夹角，注意角范围的统一③距离问题向量的模，注意向量的垂直（2）使用向

6、量解决立体几何问题，其前提是用向量表示的相应线段，而选择一个合适的基底是进行这种向量表示的基础，所以进行向量运算之前就是向量的分解．分解时应注意观察图形，结合已知条件，正用或逆用好向量加法与减法的几何意义。6、如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组｛x,y,z｝，使得．我们称为向量，，上的分向量。若，，为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以，，的公共起点O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任一向量，一定可以把它平移，使向量的

7、起点与原点O重合，得到向量，由空间向量分解定理可知，存在有序实数组｛x,y,z｝使得，我们把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作。7、向量的直角坐标运算设，则设，则这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．8、夹角和距离公式设，则在空间直角坐标系（图）中，已知，则其中dAB表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式． 【典型例题】例1.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中x、y、z的值。（1）；   （2）。解析：（1）又

8、，所以   x＝1，y＝－1，z＝1（2）又，所以点评：由，求x、y、z时，先用、、表示，其系数就分别为x、y、z。 例2