平面向量的数量积(12)

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1、第3讲平面向量的数量积1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.特别提醒：向量与向量要同起点。2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量

2、

3、

4、

5、cosq__叫与的数量积，记作×，即有×=

6、

7、

8、

9、cosq特别提醒：（1）（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0（2）两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1)×=×=

10、

11、cosq；2)^Û×=03)当与同向时，×=

12、

13、

14、

15、；当与反向时，×=-

16、

17、

18、

19、特别的×=

20、

21、2或4)cosq=；5)

22、×

23、≤

24、

25、

26、

27、

28、3．“投影”的概念：如图定义：_____

29、b

30、cosq_______叫做向量b在a方向上的投影特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

31、b

32、；当q=180°时投影为-

33、b

34、4．平面向量数量积的运算律交换律：×=×-5-数乘结合律：()×=(×)=×()分配律：(+)×=×+×5．平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以6.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么：7.向量垂直的判定：

35、设，，则8.两向量夹角的余弦（）cosq=★重难点突破★问题1:两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别)（2）向量数量积与实数相关概念的区别问题2:表示方法的区别数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)．问题3:相关概念及运算的区别若a、b为实数，且a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．★热点考点题型探析★考点一：平面向量数量积的运算题型1.求数量积、求模、求夹

36、角[例1]；解析：-5-[例2]解析：题型2。利用数量积解决垂直问题[例3]若非零向量、满足，证明:[解题思路]：只须证明。解析：[证明]由得:展开得:,故[例4]在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值解析：当A=90°时，×=0，∴2×1+3×k=0∴k=当B=90°时，×=0，=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时，×=0，∴-1+k(k-3)=0∴k=【新题导练】1．（广东省普宁市城东中学2011届高三上学期第三次月考）-5-已知向量，，若，则（）A．B．C

37、．D．答案：D解析：解得2．执信中学2009-2010学年度高三数学试卷知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）A．B．C．D．答案：C解析：由可得即所以角，且及可得考点2利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围[例5]已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.[0,]B.C.D.解析：由关于的方程有实根，得:.设向量的夹角为θ，则cosθ=,又，∴θ∈.[答案]B.【新题导练】3．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围[解析]，的夹角为钝角,解得或(1)又由共线且反向可得(2)由(1),(2)得的范围是-5-4．已

38、知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是答案：或且解析：与的夹角为锐角即且，可得或且-5-