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1、中国矿业大学（北京）理学院微分方程数值解实验报告实验名称：常微分方程数值解法学号：0910720205专业年级：信息与计算科学11级姓名：郭凯旋实验时间：2013年3月成绩：7/7一、实验目的，内容二、相关背景知识介绍三、代码四、数值结果与分析六、计算结果的分析一、实验目的，内容掌握一阶常微分方程的初值问题常用数值解法编写程序，利用Euler法、改进Euler法、Adams外插内插法及Runge-Kutta法解决相关问题。二、相关背景知识介绍研究一阶常微分方程的初值问题的数值解1、Euler法和改进Euler法（1）Euler法用差商近似导数问题转化为（2）改进Euler法（3）线性多步法
2、（Adams外插内插法）（4）Runge-Kutta法用f在一些点的值表示ψ（tn,un,h）,使单步局部截断误差的阶和Taylor展开法相等。将初值问题写成积分形式：7/7三、代码（Matlab）题目：用Euler法、改进Euler法、Adams外插内插法及Runge-Kutta法解决下面一阶常微分方程初值问题。代码:方程：functiony=f(t,u)y=2*t*u/(1+t^2);endEuler法:functiony=euler(n,u0,x0)t=1;u=zeros(n+1,1);h=t/n;u(1)=u0;x(1)=x0;fori=1:nx(i+1)=x0+h*i;u(i+1
3、)=u(i)+f(x(i),u(i))*h;endPlot(x,u,'r*')end改进Euler法:functiony=imeuler(n,u0,x0)err=10^-6;t=1;u=zeros(n+1,1);x=zeros(n+1,1);h=t/n;u(1)=u0;x(1)=x0;fori=1:nx(i+1)=x0+h*i;7/7u(i+1)=u(i);ut=30;whileabs(u(i+1)-ut)>errut=u(i+1);u(i+1)=u(i)+(f(x(i),u(i))+f(x(i+1),u(i+1)))*0.5*h;endendplot(x,u)endAdams内插法：k=
4、3functiony=iadams(n,u0,x0)t=1;u=zeros(n+1,1);h=t/n;u(1)=u0;u(2)=u0;u(3)=u0;x(1)=x0;x(2)=x0+h;x(3)=x0+2*h;fori=3:nx(i+1)=x0+h*i;u(i+1)=u(i)+h*(9*f(x(i+1),u(i+1))+19*f(x(i),u(i))-5*f(x(i-1),u(i-1))+f(x(i-2),u(i-2)))/24;endplot(x,u)endRunge-Kutta法：（本文采用heun法）functiony=heun(n,u0,x0)t=1;u=zeros(n+1,1);
5、h=t/n;u(1)=u0;7/7x(1)=x0;fori=1:nx(i+1)=x0+h*i;k1=f(x(i),u(i));k2=f(x(i)+0.3333*h,u(i)+0.33333*h*k1);k3=f(x(i)+0.666663*h,u(i)+0.666666*h*k2);u(i+1)=u(i)+0.25*h*(k1+3*k3);endplot(x,u)end四、数值结果与分析对于所给方程，各个方法均给出了良好的解，其实heun方法最好10步就出了的结果。而euler法7/710步Euler法大致形象出来了，但是后边误差太大。Adams内插法一开始浪费了三个点的10分割，效果还可
6、以。7/7Heun法。。10步也不错。总体10步，迭代的改进欧拉法，因为每步反复循环所以对精度毫无影响。教师评语指导教师：年月日7/7
