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时间:2018-12-27
《数分选讲讲稿第21讲》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、讲授内容备注第二十一讲二、广义积分敛散性的判定(十二法)1.若,且可考察时,无穷小 量的阶.若阶数,则广义积分收敛; 阶数时发散.2.若,可用比较判别法,或比较判别法的极限形式.3.若,考察是否关于一致有界.4.以上的条件,只要对于充分大的能保持 成立即可.5. 与同时收敛. 对有类似的方法.6.若时,无穷次变号,则上述判别法失效.可 考虑用或判别法.7.用或判别法判定为收敛,只是本 身收敛.至于是绝对收敛还是条件收敛,还有赖于进一步 考虑收敛还是发散. 8.以上方法失效,还可考虑用准则来判断. 9.用定义,看极限是否存在.1
2、0.用分部积分法或变量替换法,变成别的形式的积分,看 是否能判定它的敛散性.11.用级数的方法判定积分的敛散性.12.用运算性质判定敛散性.如3学时8若收敛,则收敛.若收敛,发散,则发散.注:对于无界函数的广义积分,以上各条都有类似的结论.只是第1条要特别注意.对无界函数的广义积分而言,此条应是趋向瑕点时,为无穷大量.若无穷大量的阶数,则积分收敛.若阶数,则积分发散. 例8设在上连续,对任意,有 .另外.试证:若,则 收敛.证 (用比较判别法)当时,有 即 , 当时. 因为,可取 .于是据比较判别法,积
3、分收敛. 例9设在上有定义,.且在任意有限区间上可积.又有定数,使得,对任意成立.试证明: 收敛. 证 已知,使得8,记,取,.则故对任意保持有界. 积分收敛. 例10设在区间里连续,且,对任何正整数,定义.证明:广义积分收敛的充要条件是存在. 证 充分性:当时,.故的敛散性,可用非负函数的判别法进行判定.只需证明:当时,,保持有上界.在上连续,使得因而当时,在上恒有 从而 令,. 收敛. 必要性:对单调不减,且.关于单调有界.且 8即 单调有界,必存在极限. 存在. 例11证明积分有意义.
4、 证I 积分 时,,故该积分为正常积分.只要在处补充的值为零,则在上连续,积分有意义. 由判别法知,此积分收敛.而在上单调有界,故由判别法知 收敛.综合,,原积分有意义.证II 故该积分有意义.瑕点附近,无穷次变号.注:判别法与判别法经常交替使用.注:观察被积函数的原函数.8例12积分是否收敛?是否绝对收敛?证明所述结论.解 其中积分 以为瑕点. 与同价.所以积分收敛. ,上述积分为绝对收敛.对积分 可利用的展式,有于是 而 条件收敛,绝对收敛.8积分 条件收敛.故原积分条件收敛.例13 设为
5、实数.试讨论积分 的敛散性.解 若,则 不论,还是,积分发散.若,则 其中 所以与积分同时收敛.故当时收敛,即.亦即时收敛. 被积函数为正, 收敛为绝对收敛.8对于 ,只需讨论的情况. 当时.(即) 且收敛此时绝对收敛. 当时.(即) 单调减趋于零, 由判别法知,收敛.且由 知非绝对收敛.条件收敛. 当时.(即) ,有知发散.(准则)总之,原积分当时,绝对收敛; 时,条件收敛;其他情况发散.例14 设在内可微,可积.且当时,单调趋于零.又积分收敛.试证:收敛.证 8 已
6、知收敛,只需证明存在. 收敛由准则,当时. . (由已知条件)上的最小值为.当 时,即 .8
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