数分选讲讲稿第30讲

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1、讲授内容备注第三十讲二、多元函数连续性1．连续性的证明例8　设及分别在区间上连续．定义　试用方法证明：在内连续．　　证　及分别在上连续，　，使得　　　　　　　于是，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　记　，于是　，则当时，恒有　　．　　　　　　　　　　3学时补充二元函数连续的定义7补充命题：在处不连续的充要条件是：及点列，虽然，但．　　例9设在闭立方体上连续．试证：在正方形上连续．　　证（用反证法）　　假设在某点处不连续，则及点列，使得　　　　　(1)在上连续，必在上一致连续．对，，当时，恒有　　　　特别当　时，有即　　　固定，让在上变化，取最

2、大值，可得即　时，．　　对，，当时，有7从而有　　．与(1)式矛盾．2．连续与按单变量连续的关系　　函数连续必按单变量连续．反之，按各单变量连续不一定连续．在补充某种条件之后，才能保证连续．例10若分别是单变量及的连续函数，对其中一个变量是单调的，则是二元连续函数．　　证　设分别是单变量及的连续函数，且关于单调增加．　　设是定义域内的任意一点．关于连续，所以，当时，有　　　　　　(1)对于点及，由于关于连续，从而在连续．对上述，当时，有　　　(2)令则在的方形邻域上，　　关于单调增加7　　　　　　　　　　　　　．所以在方形邻域上，有即　　　　　　于是在点连续．

3、由的任意性知，连续．例11设所论区域上的函数分别对，连续．试证：在下列条件之一满足时，连续．　1)对连续，关于一致；（即，当时，　对一切，恒有　）　2)对连续，关于一致；　3)　特别，若对其中一个变量满足条件；（如对满足条件，即，使得，有　　　　　　）4)设所考虑的范围是某个有界闭区域，而在包含的某个区域上有意义，且在上对变量或满足局部条件7（如对满足局部条件，即邻域及，使得，有　　　　　　）证1)设对连续，关于一致．　　　（与无关）当时，对一切，恒有　　　　　　　　又在处，对连续，于是　　对上述，当时，有取，则当时，有　　　　　　　　　　由的任意性，这就证明

4、了的连续性．　　2)　类似1)．　　3)　可从条件导出1)或2)．4)　可从条件4)导出条件1)（用有限覆盖定理）．例12　在凸域上，有界．则函数在上连续．证　，由于是凸域，则点，至少有一个在内．不妨设在内，于是有7　　　　　　　已知　所以在（或），（或）上可导，由中值定理　　　　　　　　　　　　　　　　　介于之间　　　　　　　　　　　　　　　　　介于之间于是　，当时，有　　．则在处连续．　由的任意性，在凸域上连续．注：由上题的证明过程可看出，满足题目的条件，可推出　　在凸域上一致连续．77