数分选讲讲稿第13讲

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1、讲授内容备注第十三讲四、关于界的估计下面的例题，关键是寻找，，以及之间的关系式．例7　设在上有二阶导数，时，，．试证：当时，．证　，有　　　　　　　两式相减例8设在上有二阶连续导数，且满足及，．试证：对一切，有．证　，有　　(1)　(2)(1)－(2)：3学时11　　　　　　　　　例9设在上二次可微，试证：，且证　，有　　介于之间介于之间两式相减所以即对一切成立．上式为关于的二次三项式，由判别式　　　　　　　　　　　　对一切成立．即　　　　　　　　．例10设在上有三阶导数，并且，在上有界．证明：，也在上有界．11证　，有其中介于之间．取时，　　　　　　(1)　　　　　　　(2)(1)－(

2、2)：令　　　，则　　　　　　　　　　　　　　　(1)+(2)：则　　　　　　　　　　　故，在上有界．五、求无穷远处的极限例11设在上二次连续可微．如果存在，且在上有界．试证：．证　由Taylor公式，有　　　　　　　　　　　　　　　(1)11因为有界，所以，使得　由(1)知　　　　　　　　　　　　，先取充分小，使得，然后将固定．设，则，当时，从而当时，　　即．例12设至少有阶导数，且对某个实数，有　　　　　　，．　　　　　　(1)试证：　．　　　证　据已知条件(1)，要证明，只要把写成与的线性组合即可．应用Taylor公式　　　　　(2)其中　．这是关于，，，为未知数的线性方程组，其系

3、数行列式Vandermonde行列式11故方程组(2)有非零解其中为常数，，．至此只需证明　　　　　　　．事实上，设，于是令，则．则有．同理，令，则．则有．于是．六、中值点的极限例13设(1)　在内是阶连续可微函数11．(2)　当时，有，但．(3)　当时，有　　　　　　　　　　　　(1)其中．证明：．证　将，在处按Taylor公式展开由条件(2)　　　　　　．代入(1)式，得　　　　　　　　　即　　　　　　解得　　　因为，利用的连续性，可得．例14设，．11且．证明：．证由题设，．由Taylor公式有　　　即　　　　令得，即　　　．　　七、函数方程中的应用例15　设在内有连续的三阶导数，

4、且满足方程(1)，与无关．试证：是一次或二次函数．证问题在于证明或．将(1)式两边关于求导数　　　　　　　　　(2)从而有　　令得，　　　若，则，为一次函数．　　若，由(2)得11上式两边再对求导数令得，故　，为二次函数．　　例16　已知函数在区间内有二阶导数，且，．试证：，使得在内，．证　将，在处按Taylor公式展开又因为　　　　　　　　　　　　　介于之间　　　　　　　　　介于之间从而　　　令，则在上连续，　　，使得．只要证明即可．事实上　　　　　　　　　　　　　　　　　11　　　　　　即　　　　　　　　　．所以，在上，．§3．4不等式与凸函数一、不等式1、利用单调性证明不等式若（或

5、），则当时，（或）若（或），则当时，（或）例1证明：．证设，则，由三角不等式，知．2、利用微分中值定理证明不等式若在上连续，在内可导，则，使得故当，在内时，有，11例2证明：．证　令，则时，．不等式变形　　令，则．只须证．　　　，　　所以　　　　　即，　．3、利用Taylor公式证明不等式若在上有连续的阶导数，且，，有，．例3求证：，　　证　原不等式等价于　　，　　　　　　　　11　　，　　　　　　，，故，．11