数分选讲讲稿第9讲

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1、讲授内容备注第九讲例5设函数在闭区间上连续，，且在开区间内有连续的右导数　．证明：存在一点，使得．证　若常数，则．得证．　　设常数．（为了证明，使得，只要证明，分别有，．那么由的连续性，便知存在，使得．事实上，找这样的，只要找最大（小）值点即可）因为在上连续，所以在上达到最大、最小值．而，最大、最小值至少有一个在内部达到．　　不妨设是的最大值点（内部达到最小值类似可证），于是．任取一点：．在上连续，在上也必有一点达到最小值．于是．所以在区间上，连续，且．若，则必有或，得证．若，则根据根的存在定理3学时9，使得

2、．例6设函数在处可微，，．证明：．证　　　　若记，则．且　　　，　均为有界量．但．所以　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　证毕．例7设在上可微．试证：，使得．　　证法　用二分法，作闭区间套，使．证　设为的中点，记闭区间套闭区间套定理若是一个区间套，9则　　　　于是　与中至少有一个大于．不妨设．取，则，且．对重复上述步骤，可得，，且．如此进行下去，得一区间套　　．且恒有　　　　　　　　　据区间套定理，　　　　，且　　由例7知．例8设在上可微．试证：在上连续的充要条件是：在上一致可微．即，当时，有．对一

3、切成立．9证　必要性　因为在上连续，所以一致连续．　　　　　　，当时，有因此当时，对，由Lagrange中值定理．期中介于之间．．充分性　已知，当时，有．因此，，只要，便有　　　　．所以在处连续，由的任意性，在上连续．例9设　其中存在，且．为常数．试确定的值，使得在处连续且可导，并求出．　　解　设，存在，且．　　　　　．9．又因为．所以，当时，在处连续．　　　　　　　　　　　　　　．所以当时，在处可导，且．　　二、高阶导数与Leibniz公式1、先拆项化简再求导有些式子不一直接求高阶导数．当拆项化简后，变成易

4、于求高阶导数的一些基本形式之和，便可以直接求导．基本形式主要有，　，　，　，特别注意：（因子不要漏掉）例10计算，设　(1)；9(2)；　(3)．解(1)所以．(2)(3)所以　　　　　　．2、直接使用Leibniz公式把要求导的函数写成两项项乘，然后直接使用Leibniz公式．如　　　　　　　　　．例11　试证：．　　证令，则9其中　，，．反复上述做法次，得．　　　(1)另一方面，直接使用Leibniz公式(2)比较(1)、(2)，即得所要求的等式．3、用数学归纳法求高阶导数当高阶导数不能一次求出时，可先求

5、出前阶导数，总结归纳，找出规律，然后用数学归纳法加以证明．例12　证明：．证　时，时，．　　　　　　　　　　　．假设时，命题成立，即，当时，9由数学归纳法知，命题成立．　　例13　证明：函数在处，．证．假设　，易证．其中表示关于的某个多项式．因此　　　　　　　．9　　例3设，其中于点的邻域内有阶的连续导数，试求：．解　所以　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　．对于，．9