数分选讲讲稿第21讲

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1、讲授内容备注第二十一讲二、广义积分敛散性的判定（十二法）1．若，且可考察时，无穷小　量的阶．若阶数，则广义积分收敛；　阶数时发散．2．若，可用比较判别法，或比较判别法的极限形式．3．若，考察是否关于一致有界．4．以上的条件，只要对于充分大的能保持　成立即可．5．　与同时收敛．　　对有类似的方法．6．若时，无穷次变号，则上述判别法失效．可　考虑用或判别法．7．用或判别法判定为收敛，只是本　身收敛．至于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步　考虑收敛还是发散．　8．以上方法失效，还可考虑用准则来判断．　9．用定义，看极限是否存在．1

2、0．用分部积分法或变量替换法，变成别的形式的积分，看　是否能判定它的敛散性．11．用级数的方法判定积分的敛散性．12．用运算性质判定敛散性．如3学时8若收敛，则收敛．若收敛，发散，则发散．注：对于无界函数的广义积分，以上各条都有类似的结论．只是第1条要特别注意．对无界函数的广义积分而言，此条应是趋向瑕点时，为无穷大量．若无穷大量的阶数，则积分收敛．若阶数，则积分发散．　　例8设在上连续，对任意，有　　．另外．试证：若，则　收敛．证　（用比较判别法）当时，有　　　　即　　　　　　　，　　当时．　因为，可取　　．于是据比较判别法，积

3、分收敛．　　例9设在上有定义，．且在任意有限区间上可积．又有定数，使得，对任意成立．试证明：　收敛．　　证　已知，使得8，记，取，．则故对任意保持有界．　积分收敛．　　例10设在区间里连续，且，对任何正整数，定义．证明：广义积分收敛的充要条件是存在．　　证　　充分性：当时，．故的敛散性，可用非负函数的判别法进行判定．只需证明：当时，，保持有上界．在上连续，使得因而当时，在上恒有　　　　　从而　　令，．　　　　收敛．　　必要性：对单调不减，且.关于单调有界．且　　　8即　单调有界，必存在极限．　　　存在．　　例11证明积分有意义．

4、　　证I　　积分　时，，故该积分为正常积分．只要在处补充的值为零，则在上连续，积分有意义．　　　　由判别法知，此积分收敛．而在上单调有界，故由判别法知　　收敛．综合，，原积分有意义．证II　　　　　故该积分有意义．瑕点附近，无穷次变号．注：判别法与判别法经常交替使用．注：观察被积函数的原函数．8例12积分是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论．解　　其中积分　以为瑕点．　　与同价．所以积分收敛．　　　，上述积分为绝对收敛．对积分　　　　可利用的展式，有于是　而　条件收敛，绝对收敛．8积分　　条件收敛．故原积分条件收敛．例13　设为

5、实数．试讨论积分　　　　　　的敛散性．解　若，则　不论，还是，积分发散．若，则　　　　　　　　　　　　　　其中　　所以与积分同时收敛．故当时收敛，即．亦即时收敛．　被积函数为正，　收敛为绝对收敛．8对于　，只需讨论的情况．　当时．（即）　　且收敛此时绝对收敛．　　当时．（即）　单调减趋于零，　由判别法知，收敛．且由　　知非绝对收敛．条件收敛．　当时．（即）　，有知发散．（准则）总之，原积分当时，绝对收敛；　　　　　　　时，条件收敛；其他情况发散．例14　设在内可微，可积．且当时，单调趋于零．又积分收敛．试证：收敛．证　　8　　已

6、知收敛，只需证明存在．　收敛由准则，当时．　　　　　　　．　（由已知条件）上的最小值为．当　时，即　　　．8