平面向量小结与复习

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1、第二章平面向量章末复习（第2课时）教学目标重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用．难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运算能力和解决实际问题的能力．教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；(3)把

2、数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．一、【知识结构】平面向量平面向量的数量积数量积的性质数量积的定义数量积的运算律数量积的几何意义几何中的应用平面向量应用举例物理中的应用二、【知识梳理】1．平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(innerproduct)（或内积），记作，即，其中是与的夹角．(2)数量积的几何意义数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的

3、投影的乘积．(3)数量积的性质①．②当与同向时，；当与反向时，；特别地，，所以．通常记作．③(4)数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．(5)数量积的坐标表示已知两个非零向量，，则．由此可得：①或；②；③设为、的夹角，则．2．平面几何中的向量方法用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．在上述步骤中，把平面几何问题转化

4、为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．3．向量法在物理中的应用向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．三、【范例导航】例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P

5、，Q满足，.若，则.【分析】由题意可知，根据，解方程可以求得的值.【解答】如图，设，，则，，，又，，由得，，即所以.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.变式训练1(2011·江苏卷10)已知是夹角为的两个单位向量，若，则的值为．答案：解析：，解得.例2(2012·江苏9)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应

6、用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.【解答】因为，，所以，.所以.【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且=．答案：18解析：设，则，所以，例3.证明：对于任意的、、、，恒有不等式．【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量【解答】设，,则，，因为，所以所以.【点评】此

7、题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点，，试用、两点的坐标表示的余弦值.答案：解析：因为,,所以，那么，.四、【解法小结】1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设，(1)，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)与可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化．(3)不仅可以用来直接计算两向量、的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角

8、有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移的