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1、三.有理函数积分法例1..∴I=.类型∴.(*)例2.)=.例3.=.例4..类型对,分解为与的线性组合.对后者,配方后用(*).一般地,对(P,Q为多项式),按下列步骤积分:例第一步为假分式时用除法分解为多项式与真分式之和;第二步在实数域内把分母分解为质(x-2)(x2+1)2因式之积.设为a(x-l)k…(x2+bx+c)l…;第三步用待定系数法把第一步得到的真分式分解为部分分式.第二步中的因=式(x-l)k对应的部分分式为2x2+2x+13=a(x2+1)2+(bx+c)(x-2)(x2++…+,因式(x2+1)+(dx+e)(x-2).(**)6+bx+c)l对应的部分分式为a+
2、b=0,-2b+c=0,2a+b-2c+d=0,++…+-2b+c-2d+e=0,a-2c-2e=13.6第四步对部分分式积分:解得a=1,b=-1,c=-2,d=-3,e=-4.=.对,已见上..注解方程组确定a,b,c,d,e时,可在(**)中令x=2得到a=1.在下面分解部分分式的练习中,也可如此做.△.△.△△.△.△△.在一些特殊情形,无需死板地用待定系数法分解部分分式:△△.例如.△,或.四.被积函数可有理化的积分R(sinx,cosx)dx;.R(tanx)dxR(t);R(sin2x,cos2x).若R(sinx,cosx)满足R(-sinx,cosx)=-R(sinx,
3、cosx),即关于sinx为奇函数,则关于sinx为偶函数,可表示为sin2x,cosx的有理函数.因此R(sinx,cosx)dx=sinxdx=R1(sin2x,cosx)d(-cosx)可以用代换cosx=t化为有理函数的积分.类似地,若R(sinx,cosx)满足R(sinx,-cos6x)=-R(sinx,cosx),则可用代换sinx=t.若满足R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),则R(tanxcosx,cosx)关于cosx为偶函数,R(sinx,cosx)=R(tanxcosx,cosx)=R1(tanx,cos2x)=R2(tant),可用代换tan
4、x=t.△其中t=tan.△.△法二判断代换:△(tanx=t)△(tanx=t)△(cosx=t)△(sinx=t)△(tanx=t)△()R(x,):x=asinq或acosq;R(x,):x=atanq;R(x,):x=;R(x,):=t(=);R():.△=6(arctant-½ln
5、1+t2
6、+ln
7、t
8、-t)+C,其中.△-2arctant+C,其中t=….按有理化的思想,对R(x,),也可设=tmx有理化,因为=t-x时R(x,)dx=R(,))dt.一般地,对R(x,)有下列*Eular代换:1°a>0时设=tmx,此时x=,=.类似地,c>0时可设=tx-.2°a<0时
9、由ax2+bx+c≥0可知ax2+bx+c有实根.设==t(x-a),则,=.*I=.令=t-x,则x=,dx=,6I==+C,其中t=x+.或:令=tx-1,得,I=-2=,其中.*其它代换举例:△;△(x=acos2q+bsin2q,x-a=(b-a)sin2q,b-x=(b-a)cos2q)=.注以上两题用前面所说的代换,是和=t(x-a).△.杂题(口答方法)△.△△.△.△.△△.△.△(分部).△(代换ex=t).△x2-x)sin2xdx(分部).△.△(分部,或代换x=sint后再分部).△或或(=-2+C)或代换sinx=t.△或或.△或或.6△.*△或分部.*△.6
