向量的数量积(2)

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1、第二节向量的数量积【问题驱动】前几节我们已学习了向量的运算，包括向量的加法、减法、实数与向量的乘积，正是因为这些运算的引入，向量才显示出很强的生命力，并在越来越多的领域获得广泛的应用.本节我们引入向量的另一种运算，先看一个物理背景：如右图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在的作用下，产生位移，那么力所做的功.现在我们来观察这个结果，这个结果有哪些量确定？这个结果由、以及夹角完全确定.也可由和完全确定（因为当和确定了以后，和以及夹角也就确定了）.今天我们引入一个新的记号来表示，即，并称为和的数

2、量积.刚才我们基于一个具体的物理背景引进了数量积的概念，下面我们在一般意义下定义两个向量之间的数量积.1、什么是向量的数量积？1.1什么是向量的夹角？如图(2)所示,对于两个非零向量与,如果以O为起点，做那么射线与的夹角叫做向量与的夹角，的取值范围是.当=0时，与方向相同；当=时，与方向相反；当时，与相互垂直，记作.1.2什么是向量的数量积？如果两个非零向量与的夹角为，我们称为向量与的数量积，记作，即，如果与中有一个零向量，我们规定.（1）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量；（2）在形式上，不可以写成或.1.3如何求两个向量得夹角？如何判断

3、两个向量垂直？根据向量的数量积的定义（），则与的夹角满足可得，两个向量与垂直的充要条件是（0与任何向量垂直）.思考：如何判断两个向量平行呢？2、向量的数量积有哪些运算律？（1）；（2）;（3）（4）(5)(6)思考：以上运算律如何证明？3、如何用坐标表示向量的数量积？3.1如何用坐标表示向量的数量积？如图（3）所示，向量与用平面直角坐标系表示：设即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.3.2、如何用坐标表示两个向量的夹角？一般地，设两个非零向量则两个向量与垂直的充要条件是，即.【例题思考】例1、已知向量求:(1)；(2)(3)例2、已知

4、，求向量与的夹角是多少度？                     例3、已知当实数为何值时，与（1）垂直？（2）平行？例4、已知向量与的夹角为，且求：（1）;(2).例5、已知且与的夹角为，（1）求与的夹角；（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围？例6、已知满足求：（1）（2）例7、已知是两个非零向量，且与垂直，与垂直，求向量的夹角？例8、已知，且求；(1)(2)若的最小值是，求实数的值.【例题解析】例1解：(1)(2)(3)例2解：.则例3解：(1)解得.（2）方法一：，解得.方法二：.例4解：（1）由已知条件可得..(2),.例5解

5、：(1).(2)向量的夹角是锐角则或若与平行，设则与不平行，当时，；当时，；综上，例6解：（1）(2)例7解：两式相减得，代入（1）式得：例8解：(1)(2)令若则时，；若，则时，，得；若则时，得（舍）综上，【效果反馈】1、设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中真命题的是①②③④2、在中，，则的值是3、已知平面上三点A、B、C满足求的值.4、已知O为原点，的坐标5、已知向量与的夹角等于，且（1）若，求实数的值；（2）当，求的夹角；（3）是否存在实数，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.6、已知：且(1)用表示；(2)求的最小值

6、，并求出此时与的夹角的大小.7、单位向量互相成角（1）求证;(2)若，求的取值范围.【反馈分析】【方法小结】在本节的学习过程中，要重点体验以下思想方法：1、灵活运用；2、熟悉掌握，以及会求两个向量的夹角；3、数形结合的思想.在中，设且是直角三角形，求的值． A．450      B、600     C、1350     D、12002．已知=（1，-2），=（5，8），=（2，3），则·（·）的值为      （   ） A．34       B、（34，-68）     C、-68    D、（-34，68）3．已知=（2，3），=（-4，7

7、）则向量在方向上的投影为               （   ） A．      B、     C、      D、4．已知=（3，-1），=（1，2），向量满足·=7，且，则的坐标是（   ） A．（2，-1）   B、（-2，1）    C、（2，1）     D、（-2，-1）5．有下面四个关系式（1）·=；（2）（·）=（·）；（3）·=·；（4）0=0，其中正确的个数是                        （   ）A、4     B、3    C、2     D、16．已知=（m-2，m+3），=（2m+1，m-2）且与的

8、夹角大于90°，则实数m（  ）A、m＞2或m＜-4/3   B、-4/3＜m＜2     C、m≠2   D、m≠2且m≠-4/37．已知点A（1，