高一数学向量的加减法

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1、3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！［教材优化全析］1.向量的加法（1）引入①某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：+=.②若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：+=.③某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和：+=.上述①②③三个小题，说明向量共线、不共线时都可依据向量的运算法则求“和”.（2）向量的加法的定义已知向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做向量a、b的和.记作a+b，即a+b=+=.求两个向量和的运算，叫

2、做向量的加法.对于零向量与任意向量a，有a+0=0+a=a.（3）两个向量的和向量的作法如图（1）、（2）、（3）中，=a，=b，则+=.①三角形法则：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量，把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.常说两个向量“首尾相接”.1°三角形法则对于两个向量共线时也适用.全析提示向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具，而向量的加法运算是最基本的向量运算之一，向量加法的平行四边形法则与三角形法则和物理中力的合成、速度的合成完

3、全一致.思维拓展两个向量的和仍是一个向量，这如同两个力的合力仍是力（向量）一样.全析提示向量有几何表示法和字母表示法两种情况.用几何法表示时，箭头所指的方向是正方向；用字母表示时，起点字母在前，终点字母在后，方向由起点指向终点.思维拓展向量是既有大小又有方向的量，向量的模与方向可通过解三角形的知识求得；对于首尾相连的几个向量的和,等于以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量.3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网http://www.3edu.ne

4、t百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！2°可将向量加法的三角形法则推广到多个向量相加的多边形法则.3°任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：=+,如下所示，O点具有任意性.课本99页例1.求a+b,在平面内任取一点O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.实际上我们常在其中a或b上取一点，只平移一个向量即可.如可把a的起点移至b的终点可求和向量.②平行四边形法则由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做平

5、行四边形法则.当两个向量共线时，能用平行四边形法则求和吗？不能.因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形.所以，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向与模）.①当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且

6、a+b

7、＜

8、a

9、+

10、b

11、.②当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b同向，且

12、a+b

13、=

14、a

15、+

16、b

17、.当向量a、b反向时，若

18、a

19、＞

20、b

21、,则a+b的方向与a同向，且

22、a+b

23、=

24、a

25、－

26、b

27、.若

28、a

29、＜

30、b

31、,则a+b的方向与a反向，且

32、a+b

33、=

34、b

35、－

36、a

37、.（4）向量

38、的运算律①交换律：a+b=b+a.证明：当向量a、b不共线时如下图，作平行四边形ABCD，使=a,=b,全析提示不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.要点提炼在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.全析提示当向量a、b不共线时，

39、a

40、、

41、b

42、及

43、a+b

44、构成一个三角形的三条边，由三角形的性质可知：｜

45、a

46、－

47、b

48、｜＜

49、a+b

50、＜

51、a

52、+

53、b

54、；当向量a、b共线时，

55、a

56、、

57、b

58、

59、及

60、a+b

61、可理解成同一直线上的线段相加减.要点提炼向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！则=b,=a.因为=+=a+b,=+=b+a，所以a+b=b+a.当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且

62、a+b

63、=

64、a

65、+

66、b

67、，b+a与a同向，且

68、b+a

69、=

70、b

71、+

72、a

73、，所以a+b=b+a；若a与b反向，

74、不妨设

75、a

76、＞

77、b

78、，同样由向量加法的定义知：a+b与a同向，且

79、a+b

80、=

81、a

82、－

83、b

84、,b+a与a同向，且

85、b+a

86、=

87、a

88、－

89、b

90、,所以a+b=b+a.综上所述，a+b=b+a.②结合律，自己验证一下.由于向量的加法满足交换律和