向量及向量的加减法

《向量及向量的加减法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、5．1向量及向量的加减法要点透视：1．由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接

2、时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．活题解析：例1．给出下列命题：①若

3、

4、＝

5、

6、，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③若=，=，则=，④=的充要条件是

7、

8、=

9、

10、且//；⑤若//，//，则//，其中正确的序号是。要点精析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵，∴且，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，．③正确

11、．∵=，∴，的长度相等且方向相同；又＝，∴，的长度相等且方向相同，∴，的长度相等且方向相同，故＝．④不正确．当//且方向相反时，即使

12、

13、=

14、

15、，也不能得到=，故

16、

17、=

18、

19、且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑=这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．思维延伸：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用

20、，将向量，，，表示出来．要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，所以=＋，所以==+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，同样在平行四边形BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－.思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用，表示，且可用规定其中任

21、两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示．例3．求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上．要点精析：证明：设起点为O，＝，=b，＝3－2，则=2(－)，=－，，∵共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，，3－2的终点在同一直线上．思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点．练习题一、选择题1．在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作

22、用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．42．已知命题P：非零向量，，，满足++=．命题Q：表示，，的有向线段可构成三角形，则P是Q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列命题中，正确的是（）A．

23、

24、=

25、

26、=B．

27、

28、>

29、

30、>C．=//D．

31、

32、=0＝4在平行四边形ABCD中，，则必有（）A．＝B．＝或

33、＝C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形5．下列命题：(1)如果非零向量与的方向相同或相反，那么＋的方向必与，之一方向相同；(2)三角形ABC中，必有＝；(3)若=，则A，B，C为三角形的三个顶点；(4)若，均为非零向量，则

34、+

35、与

36、

37、+

38、

39、一定相等，其中假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．化简以下各式：（1）；（2）（3）（4）结果为零向量的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：7．若＋＝，

40、

41、=

42、

43、=，与垂直，则

44、

45、=；与的夹角为．8．若点P为三角形△ABC的外心，且

46、，则三角形的内角C=.9．两个非零向量的模相等是两个向量相等的条件．10．已知点M是△ABC的重心，则=.三、解答题：11．如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的交点为H，连接BO并延长交外接圆于D．求证：（1）；（2）.12．如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又=，，试用，表示．13．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上，取点E，F，使BE=DF，用向量的方法证明，四边形AECF也