阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机

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1、数学建模电子教案第5次课课题第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解§3.1一阶微分方程初值问题数值解§3.2猪的最佳销售时机教学内容1.常微分方程的两个模型2.一阶常微分方程初值问题数值解法3.猪的最佳销售时机问题的模型及实验教学目标1.了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法：欧拉方法、Runge-kutta(龙格－库塔)方法。2.会利用变化率分析并建立微分方程模型。3.会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。教学重点1.掌握微分方程数值解法得基本思想.2.了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方

2、程的初值问题的数值解教学难点Runge-kutta(龙格－库塔)方法双语教学内容、安排Differentialequation;微分方程numericalvaluesolution;数值解教学手段、措施板书、结合多媒体教学作业、后记P69,2教学过程及教学设计备注§3.1一阶微分方程初值问题数值解一、两个模型1、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？解首先建立坐标

3、系，兔子在O处，狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹是y=f(x)，则有，又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有用多媒体8数学建模电子教案第5次课整理得到下述模型这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹因，所以狼追不上兔子。2、尸体冷却模型受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时

4、后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时体温是

5、正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即k是常数，分离变量积分得：由T(0)=21.1+a=32.6得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4得e-k＝115/103，即k=0.11，所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t.当T=37℃时，有t=-2.95小时＝-2小时57分，8小

6、时20分－2小时57分＝5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。二、一阶微分方程初值问题数值解1、导入课程：微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。牛顿冷却定律：即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。8数学建模电子教案第5次课函数满足利普希茨条件：（3-1）的解存在并且唯一。常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点上的近似值相邻两个节点的距离称为步长，节

7、点为初值问题（3-1）的数值解法都采用进步式，即只要给出用已知信息就能给出计算的递推公式。2、欧拉方法的递推公式：它的基本思想是在小区间上用差商代替导数，而方程右端函数中的在小区间的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。（1）向前欧拉公式：　n=0,1,2…….（1）被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。（2）向后欧拉公式：　　　（2）被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。（3）梯形公式：：　　n=0,1,2,……(3)被称作梯形公式。（4）改进的欧拉公式:(4)被称作改进的欧拉公式。例1、求解初值问题　　（3.3）解（1）向前欧拉

8、公式的方法具体形式为：取步长h=0.1，计算结果见表3－1。记将向前和向后欧拉公式加以平均得到。迭代过程分为两步：由向前欧拉公式算出的预测值再把它带入梯形公式的右端，作为较正。此方程的解析解为8数学建模电子教案第5次课0