高三数学上学期 立体几何 空间向量与立体几何（2）教学案

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1、空间向量与立体几何（2）【教学目标】能理解空间向量的所成的角与空间中线线、线面、面面所成角之间的关系．【教学重点】用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【教学难点】空间向量的所成的角与空间中线线、线面、面面所成角之间的等价关系．【教学过程】一、知识梳理：直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：1．设直线所成的角为，则：2．设直线与平面所成的角为，则：3．设平面所成的二面角的大小为则：①若，②若，二、基础自测：1．已知a，b是空间两个向量，若

2、a

3、＝3，

4、b

5、＝2，

6、a－b

7、＝，则a与b的夹角为．2．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且

8、OM＝2MA，N为BC的中点，则＝（用a，b，c表示）．3．在正三棱锥P-ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO＝AB＝2，则PB与平面BDC所成角的正弦值为．4．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).则以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S＝．三、典型例题：例1．如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.（1）证明：AC⊥B1D；（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．例2．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝

9、1．（1）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；（2）在线段AC上找一点P，使与所成的角为60°，试确定点P的位置．例3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．（1）若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（2）若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长．四、课堂反馈：1．在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是________．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1E

10、D与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．五、课后作业：学生姓名：___________1．(2013·江苏高考)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值．3．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面

11、ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．4．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，＝λ.(λ∈R)（1）当λ＝时，求证：AB1⊥平面A1BD；（2）当二面角AA1DB的大小为时，求实数λ的值．5．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA＝AB＝AC.（1）求证：PA∥平面QBC；（2）若PQ⊥平面QBC，求二面角QPBA的余弦值．