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1、平面向量的数量积及其应用讲师：王光明一、复习目标深刻理解平面向量数量积的定义及其几何意义。能应用向量数量积解决有关向量垂直问题，向量的长度、夹角的问题，能将其它章节某些问题转化为可用向量数量积解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。二、基础知识知识点回顾1、两个向量的夹角是如何规定的？两个向量的夹角的取值范围是什么？如下图，已知两个非零向量和作=，=，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角，记作〈，〉.2、平面向量数量积的定义是什么？其几何意义是什么？如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量叫做与的数量积（或
2、内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0.注意数量积是一个实数，不再是一个向量的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。在上的投影为=，它是一个实数，但不一定大于03、平面向量数量积有哪些性质？设是单位向量，〈，〉=θ.（1）·=·=
3、
4、cosθ.（2）当与同向时，·=
5、
6、
7、
8、；当与反向时，·=－
9、
10、
11、
12、，特别地，·=
13、
14、2，或
15、
16、=.（3）⊥·=0.(、都是非零向量)注意：零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直8（4）cosθ=.（5）
17、·
18、≤
19、
20、
21、
22、.4.平面向量数量积运
23、算律：（1）·=·；（2）（λ）·=λ（·）=·（λ）；（3）（+）·=·+·思考讨论5.向量数量积的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则（1）·=x1x2+y1y2；（2）
24、
25、=；（3）cos〈，〉=（4）⊥·=0x1x2+y1y2=0.三、双基训练1.已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么
26、+3
27、等于A.B.C.D.4解析：
28、+3
29、====.答案：C2.已知=（λ，2），=（3， —6），且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是解析：与的夹角为钝角，cos<，><0且cos<，>≠-1，又cos<>=得3．已知为
30、非零的平面向量.甲：（）8甲是乙的充分条件但不是必要条件；甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件；甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件若=，则
31、
32、
33、
34、=
35、
36、
37、
38、（其中、分别为与，与的夹角）若
39、
40、≠0，则
41、
42、=
43、
44、cosβ.∵与不一定相等，∴
45、
46、与
47、
48、不一定相等.∴与也不一定相等.∴甲乙若=则
49、
50、=
51、
52、且与，与夹角相等，∴乙甲四、平面向量的数量积的应用例1、已知=（cosα，sinα）,=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证：互相垂直；（2）若的相等(k∈R且k≠0)，求β－α（1）证法一：∵=（cosα，
53、sinα）,=（cosβ,sinβ）∴＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）,＝（cosα-cosβ，sinα-sinβ）∴·=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）·（cosα-cosβ，sinα-sinβ）=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0∴⊥证法二：∵=（cosα，sinα）=（cosβ,sinβ） ∴＝1，＝1∴·===0 ∴⊥证法三：∵=（cosα，sinα）,=（cosβ,sinβ）∴＝1，＝1,记＝a，＝b，则
54、
55、＝
56、
57、=1,8又α≠β，∴O、A、B三点不共线。由向量
58、加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝，＝，由菱形对角线互相垂直，知⊥（2）解：由已知得又∵＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),∴2kcos(β－α)=-2kcos(β－α)又∵k≠0 ∴cos(β－α)＝0∵0<α<β<π ∴0<β－α<π,∴β－α=评述：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证
59、明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证例2.如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.解法一：故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则且设点的坐标为，则，8故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0.例3如图，已知三角形PAQ顶点P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，（1）
60、当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线与轨迹E交于B、C两点，点D（1，0），若∠BDC为钝角，求k的取值范围．讲解（1） ① ②由①②解（1） ① ②由①②（2）8依题意B、D、C三点不共线，∴③，则．④y1y
