典型习题解答与提(1)

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1、第八章无穷级数典型习题解答与提示习题8-11．（1）；　　（2）。2．提示，，级数的和为。3．（1）提示，，，级数发散；　（2）提示，级数是公比的等比级数，级数是公比的等比级数，原级数收敛；　（3）因，　　　则　　　　　　　　　　　　　　　故，故级数收敛；　（4）因，故，　　　故由级数收敛的必要条件知，级数发散。4．（1）错；　　（2）对；　　（3）错；　　（4）错。习题8-21．（1）级数发散；　（2）级数收敛；　（3）因，又因为级数是收敛的级数，故由比较审敛法知，已知级数收敛；　（4）因，又级数是收敛的等比级数，故由比较审敛法知，级数收

2、敛。2．（1）级数发散；　（2）级数收敛；　（3）因，则，即由比值审敛法知，级数收敛；　（4）因，则，故由比值审敛法知，级数发散。3．（1）因，故，且，故审敛，即已知级数绝对收敛；　（2）故。又，级数是收敛的级数，故由比较审敛法知，级数绝对收敛；　（3）因，故，且级数发散，故由比较收敛法知，级数不绝对收敛，但是，易知该级数满足莱布尼兹的条件，故该级数是条件收敛的交错级数；　（4）因，故，则，故由比值审敛法，级数绝对收敛。习题8-31．（1）收敛区间为；　（2）收敛区间为；　（3）收敛区间为；　（4），收敛区间为；　（5）因，故，　　　则，收

3、敛区间为；　（6）因，故，　　　即，收敛区间为；　（7）因，故，　　　即，收敛区间为，即，也即；　（8）令，则原级数可化为，因，则，关于的幂级数的收敛半径，即在内收敛；故原级数在内，即内收敛。即所求收敛区间为。2．（1）提示令，两边从积分，再求导即可，；　（2）方法一　因，令，　　　两边从两次积分，得，　　　上式两边两次求导，得　　　即所求和函数为　；　　　方法二　因，两边求导，得。即　，两边再次求导，得即　；　（3）令，两边求导，得两边从积分，得　　　　　　　　　　　　　　　　即　因　，故；　（4）令，两边求导，得两边再次求导，得则上式从

4、积分，得，上式两边再次从积分，得　　　　　　　　　　　　　　　　。3．令，两边求导，得，上式两边从积分，得由上级数的和函数知当时，有　，则　，即。*习题8-41．（1）；　（2）；　（3）提示，，　　　　　　；　（4）因，又，　　　则　　　　　　　；　（5）因，又　，则　　　　；　（6）因，又　，，则　　。2．（1）提示，　　　；　（2）　　　　　　；　（3）　　　　　　　　　　　　。3．因可看作是在处的函数值。又　。则。显然上式右端是一个收敛的交错级数，若取级数的前三项作为的近似值，则误差为　，精确到了，达到了精确到要求，即　。4．略。*

5、习题8-51．（1）提示：由欧拉-傅里叶公式计算　，则的傅里叶级数为，由收敛定理知　；　（2）因，由欧拉-傅里叶公式知，　，，则的傅里叶级数为且，由收敛定理知　；　（3）因　，则由欧拉-傅里叶公式知，，　，则所求傅里叶级数为由收敛定理知　；　（4）因，则由公式知：　　　，即所求傅里叶级数为且由收敛定理知。2．（1）因，是偶函数，则由公式知　　　　，，　　　即可得如下余弦级数。　（2）因为奇函数，则　　　　　，即有正弦级数且，由收敛定理知　　　　。*习题8-61．因周期为4，由公式知，,则所求傅里叶级数为且，由收敛定理知。2．因周期为2，则由

6、公式知，　　，为偶函数，故由收敛定理有。3．因，周期数为4，即，则由公式知　　　　，　，则的傅里叶级数为　，，且，。复习题八1~7．略。8．（1）因，又是发散的正项级数，　　　故由比较审敛法知，原级数发散；　（2）因，又是收敛的级数，　　　故由比较审敛法知，原级数收敛；　（3）因，则，　　　故时，级数发散；时，级数收敛；　（4）因，又级数是收敛的级数，　　　故由比较审敛法知，原级数收敛；　（5）因，则，故由收敛的必要条件知，级数发散；　（6）因，则，　　　显然级数发散，即原级数不绝对收敛，　　　但是，单调递减且趋于0，故由莱布尼兹审敛法知，

7、原级数条件收敛。9．（1）原级数可化为，令，则级数又可化为，　　　于是，，故关于的幂级数的收敛半径，即当时，级数收敛，从而原级数在时收敛，于是其收敛区间，当时，级数为，是收敛的交错级数；当时，级数为，是发散的调和级数，于是原级数的收敛域为；　（2）原级数即为，，于是有　　　，故收敛半径，收敛区间为，又容易知道时，级数皆发散，于是收敛域为；　（3）因，又当令时，级数，极限，故级数的收敛区间为，于是，故原级数的收敛区间是，经检验知，已知级数的收敛域为。10．（1）因，又，，　　；　（2）因，又因，则　（3）因，　　　　又，　　　　则　　　　　　

8、　；　（4）因，　　　　则　　　　　　　；11．（1）因，，且以为周期，则由公式知：，，　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　即所求傅里叶级数为；　（2）因，，且以