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1、第七章多元函数积分学典型习题解答与提示习题7-11．（1）； （2）。2．提示：利用。3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。4．（1）利用估值不等式易于发现，当在边界时，函数取得最小值和最大值，已知，故，即，，所以； （2）提示，，，故。5．（1）0； （2）0； （3）。习题7-21．（1）； （2）9； （3）； （4）0。2．（1）；（2）； （3）令， ， 令，则， ； （4） ； （5） 。3． 。4．（1）； （2）
2、； （3）；5 （4）区域D用不等式组表示 ， ， 所以； （5）提示：区域D用不等式组表示 ， ，故原式； （6）区域D用不等式组表示 ， ， 其中，因此。5．图略 （1）； （2）； （3）； （4）。6．（1）； （2）； （3）。7．（1） ； （2）； （3）化为极坐标形式， ， 注意到，则； （4）变换成极坐标， ， ； （5）变换成极坐标， ， ； （6）变换成极坐标， ， 。习题7-31．（1）两个曲面的交线 在面的投影曲线，就是区域D的边界曲线，因此，可以从上面两个方程中消去而得到，即。所
3、以立体体积可以看作两个有同底的曲顶柱体体积之差，一个是以抛物柱面为顶的曲顶柱体，一个是以椭圆抛物面为顶的曲顶柱体，所以 ； （2）所求体积V是以区域D的圆为底，以为顶的曲顶柱体体积，即 ； （3）所求体积V是以区域D的圆为底，以旋转抛物面 为顶的曲顶柱体的体积，即 ； （4）所求体积V是以区域D的圆与圆所围平面区域为底，以旋转抛物面为顶的曲顶柱体体积，即 。2．（1）因为 ，所以的面积A为（设），，，故重心为； （2）D的面积（设） ，根据对称性，有，故所求重心为； （3）设密度函数（为比例常数）则D的质量M为 ， ，根据对称性，，故
4、重心坐标为。 （4）设 ，则的面积A为（设） ，由于D是关于直线对称的，故， 故重心为； （5）取坐标系如图7-11，设面密度为，由于重心落在圆心上，图7-11习题7-3中2(5)示意所以即有，所以。*习题7-41．（1）D[x^3*y–y^3*x,x]D[x^3*y–y^3*x,y]（2）D[(1+x*y)^y,x]D[(1+x*y)^y,y]2．（1）D[x^4+y^4–4x^2*y^2,x,x]D[x^4+y^4–4x^2*y^2,y,y]D[x^4+y^4–4x^2*y^2,x,y] （2）D[y^x,x,x]D[y^x,y,y]D[y^x,x,y]3．（1）Integrate
5、[x*y^(1/2),{x,0,1},{y,x^2,x^(1/2)}] （2）Integrate[x^2/y^2,{x,1,2},{y,1/x,x}] （3）Integrate[x^2+y^2–x,{y,0,2},{x,y/2,y}]复习题七1．（1） ； （2）； （3）； （4） 。图7-12复习题七中2(1)积分区域2．（1）据题意作图如图7-12所示，其中，则。若 ，其中；则； （2），则若 ，其中，；则； （3）求交点解得，若，则若 ，其中，；图7-13复习题七中3(1)积分区域则。3．（1）已知由，所围，如图7-13所示，故有，则； （2）； （3）；图
6、7-14复习题七中3(4)积分区域 （4）已知。即有，如图7-14所示，其中；。故 。4．（1）9； （2）； （3）解得交点与，， 图7-15复习题七中4(4)积分区域 ； （4），如图7-15所示。 ； （5）， ； （6），即，， 。5．（1）立体在面上之投影区域D为，曲顶为， ； （2）立体在平面上的投影区域， 。*6．（1），由0到1，， ； （2），由0到1，， ； （3），由0到1，， ； （4），由0到1，， 。*7．,。*8．，。*9．，，在整个平面
7、除去（即轴）均有定义，且有连续导数，，所以。故除去轴，与路径无关，取路径，，，。为，由1到2，垂直于轴，；为，由2到1，垂直于轴，。。
