微分中值定理与导数的应用作业习题

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1、第三章微分中值定理与导数的应用作业习题1、证明下列的不等式。（1）；（2）。2、设是任意实数，求证在内必有零点。3、设在可导，存在，，求证。4、求下列极限。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。5、求函数的单调区间与极值点。6、证明当时，有。7、求证当时，有。8、证明方程有且仅有三个实根。9、求椭圆的曲率半径。10、在半径为R的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高，底半径应是多少？作业习题参考答案：1、证：（1）取在上对用拉格朗日中值定理，使得，即。（2）取在上对用拉格

2、朗日中值定理，，使得故。2、证：设则；由罗尔定理，，使即是在上的零点。3、证：对则在上可导，不妨记。由拉格朗日中值定理，有。又，故故。4、解：（1）。（2）。（3）=故=。（4）。（5），故=。（6）=，=故。（7）。（8）=。5、解：。（0，1）1（1，）（，）-0+0-极小值极大值的单调减少区间是（0，1）与（，）；单调増加区间是（1，）。的极小值是极大值是。6、证：先对原不等式变型得当时，所以原式。设。当时，故所以在严格増加。，即当时，。7、证：设，则（舍弃-1）。因为。所以在上最大值为2，最小值

3、为，即亦即。8、证：设易知，因为由连续函数介值定理使得即至少有三个零点。假设=0有四个根，记为，由罗尔中值定理，有三个零点，有二个零点，有一个零点。这显然不可能。故方程有且仅有三个实根。9、解：在椭圆两边同时对求导，得；；，曲率半径。10、解：设圆锥底半径为，高为，故圆锥体积是，Rrh-R如图代入得，(舍去)。故由的符号易知，此时达到极大值。在上只有一个极大值，是最大值。故当时，球内接圆锥体积最大。