函数、极限、连续(3)

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1、第一章函数极限连续1.1数列极限的求法一基本概念数列极限、数列收敛、数列发散1.数列极限：描述语言：当充分大时，数列一般项无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数，则称就是数列的极限．“”语言：，，当时，有．二基本结论1.收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性．2.单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限．3.夹逼法则：若，，且，则．4.数列极限运算法则：设，，那么（1）；（2）；（3）．（4）5.两个重要极限：；．这两个极限公式可以推广为：当时，，则；．三基本方法数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：；；；

2、；；；；无限个无穷小的和．191.取大原则（极限的形式是，分子和分母同除以的最大次幂）例1求下列极限：（1）；（2）；2.有理化法（当分子或分母含有根式时，的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分）例2求下列极限：（1）；（2）.3.夹逼法则（当数列的一般项不是关于代数式或为无限个无穷小的和）例3求．解解此题的关键是将积分表示为关于的代数式，显然没办法直接积分，只能通过对被积函数的放缩，达到可积的目的．，所以．例4求（说明将分子变成的结果）解无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有

3、：夹逼法则；定积分；Stolz定理．本题应用夹逼法则：由于，于是194.单调有界原理（数列一般项不是关于的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式）解决此类问题的具体方法：1.证明单调；2.证明有界；3.通过递推公式求极限．例5若数列满足，，证明数列极限存在，并求之．证明单调性：因为，所以或于是，数列单调递减．有下界：显然有下界．根据单调有界原理：极限存在．令，对递推公式两边取极限，有，解方程得，即.例6证明数列收敛，并求其极限．证明令，，，则，用数学归纳法可以证明：数列单调增加，有上界。证明单调增加：显然，假设，则，即，所以数列单调增加．证明有上界：，假设，显然，故

4、对所有的，有。所以数列有上界，根据单调有界原理，数列收敛．设，对两端取极限，则有，解得注关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明．如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法．5.验证法（给出数列递推公式，而此数列并非是单调的）具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明．证明是必要的．19例7设，，求．解令，对递推公式两边取极限，得．下面证明就是数列的极限．，所以，故．注1验证是必须的！例如，求．事实上，该数列的极限并不存在，但是若令，则可以求出．所以说证明是必须的．注2事实上，例5和例6也可以用验证法，请同学们给出证明。要说明的是：证明，只需证明

5、。证明，应用夹逼法则，即（）6.公式法（若极限的未定式是型，最好利用极限公式）例8求解因为7.转换法（将数列极限转换成函数极限，具体的说：令，则或令则，这是求数列极限的一个重要方法．例9设，试求解极限为不定式，于是利用极限公式而．所以19．注一般的，如果极限形式是的形式，套用极限公式，其余的工作就是求指数部分的极限了．8.定积分法如果极限的形式表现为表现为无穷项的和或积的形式或和的形式．（积或的形式可以利用恒等变换公式：将积的形式化成和的形式）定积分法原理：.应用定积分方法的具体步骤：1.将无穷项的和或积的形式表示成的形式；2.制作（每项提取）；3.将里面表示成关于的函数式；4.

6、将换成，此时里面的式子就是被积函数．于是极限就是在上的定积分．例10计算解注：此题不能应用夹逼法则．例11解首先将积的形式变成和的形式19．9.相减法（Stolz定理）如果极限表示为分式的形式，分子或分母表示为无穷项的和，需要考虑相减法．这样可以使无穷项变成有限项．Stolz定理：如果满足，，存在，则有．例12求解例13求极限．解10.相除法如果极限的形式表示为次方根的形式，则我们需要考虑相除法．基本原理：若，则例14求解练习1.11．用取大原则求下列极限：（1）；（2）；（3）192．用有理化法求下列极限：（1）；（2）；（3）.3．用夹逼法则求下列极限：（1）；（2）；（3）

7、．4．用Stole引理求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）．5．用相除法求下列极限：（1）；（2）．6．用转化法求下列极限：（1）；（2）；（令，当时，，）7．用定积分法求下列极限（1）；19（2）；（3）设在连续，，求。（4）（5）8．用公式法求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）．9.设，，试证数列极限存在，并求此极限．（分别用单调有界原理和验证法解此题）1.2函数极限的求法一基本概念函数极限；左极限、右极限（单侧极限）；无穷小；无穷大；1.函数极限：；描述语言：当