函数、极限和连续-3.ppt

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1、（三）连续1．知识范围（1）函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类（2）函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理（包括零点定理）（4）初等函数的连续性2．要求（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性,理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，。（2）会求函数的间断点及确定其类型。（3）掌握闭区间上连续函数性质，会用介值定理证些简单命题（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利

2、用连续性求极限。左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类一、函数的连续定义1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断

3、点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.判断下列间断点类型:例8解例(03二4）例（01一04）下列结论正确的是：（）A.x=0是第一类间断点，x=2是第二类间断点B.x=0是第二类间断点，x=2是第一类间断点C.x=0是第一类间断点，x=2是第一类间断点D.x=0是第二类间断点，x=2是第二类间断点三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第

4、二类间断点oyxoyxoyx练习题练习题答案三、四则运算的连续性定理1例如,四、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,极限符号可以与函数符号互换;意义定理3例如,五、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理4基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注:例1例2解解2.初等函数求极限的方法代入法.练

5、习题练习题答案六、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证七、介值定理定义:几何解释:几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,(02六)、证明题（6分）试证：对任意自然数n>1，方程xn+xn-1+……+x=1在（1/2,1）内有唯一实数根。(01五)、证明题（4分）试证：方程在（0,1）内有唯一实数

6、根。例2证由零点定理,练习题