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《2014高考数学总复习 第8章 第7讲 抛物线配套练习 理 新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章第7讲(时间:45分钟 分值:100分)一、选择题1.[2013·济南质检]如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线的方程是( )A.y2=-16x B.y2=12xC.y2=16x D.y2=-12x答案:C解析:由题设知直线3x-4y-12=0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点,故其方程为y2=16x.2.[2013·聊城模拟]点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是( )A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或y
2、=-x2答案:D解析:将y=ax2化为x2=y,当a>0时,准线y=,由已知得3+=6,∴=12,∴a=.当a<0时,准线y=-,由已知得
3、3+
4、=6,∴a=-或a=(舍).∴抛物线方程为y=或y=-x2,故选D.3.[2013·南通模拟]已知点A(3,4),F是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点,当
5、AM
6、+
7、MF
8、最小时,M点坐标是( )A.(0,0) B.(3,2)C.(2,4) D.(3,-2)答案:C解析:由题知点A在抛物线内.设M到准线的距离为
9、MK
10、,则
11、MA
12、+
13、MF
14、=
15、MA
16、+
17、MK
18、,当
19、MA
20、+
21、MK
22、最小时,M
23、点坐标是(2,4).4.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( )A.3 B.2C.2 D.答案:A解析:抛物线的准线为x=3,双曲线的两条渐近线y=±x.所求三角形的面积S=×2×3=3.故应选A.5.[2013·太原调研]设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y2=±4x B.y2=±8xC.y2=4x D.y2=8x答案:B解析:由抛物线方程知焦点F(,0),∴直线l为y=2(x-),与y轴交点A
24、(0,-).∴S△OAF=·
25、OA
26、·
27、OF
28、=·
29、-
30、·
31、
32、==4.∴a=±8,∴抛物线方程为y2=±8x.6.[2013·德州模拟]抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是( )A.(,) B.(1,1)C.(,) D.(2,4)答案:B解析:方法一:设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得d====≥.当x=1时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1).方法二:设2x-y+m=0与y=x2相切,则x2-2x-m=0.Δ=4+4m=0,∴m=-1,此时x=1,∴点的坐标为(1,1).方法三:(导数法)y=x2
33、的导数为y′=2x,设所求点为P(x0,y0),则2x0=2.∴x0=1,∴P(1,1).二、填空题7.[2013·日照模拟]已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________.答案:x=-1解析:直线方程为y=x-,由得y2-2py-p2=0.设A和B的纵坐标分别为y1和y2,由韦达定理知y1+y2=2p,又线段AB的中点的纵坐标为2,所以p=2.于是抛物线的准线方程为x=-1,也可用点差法快速破解.8.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,
34、则
35、AB
36、的最大值为________.答案:6解析:利用抛物线的定义可知,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4,那么
37、AF
38、+
39、BF
40、=x1+x2+2,由图可知
41、AF
42、+
43、BF
44、≥
45、AB
46、⇒
47、AB
48、≤6,当AB过焦点F时取最大值为6.9.[2012·北京高考]在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.答案:解析:由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线l的方程为y=tan60°(x-1),即y=x-,联立得由
49、①得x=y+1, ③将③代入②并整理得y2-y-4=0,解得y1=2或y2=-.又点A在x轴上方,∴A(3,2).∴S△OAF=×
50、OF
51、×
52、y1
53、=×1×2=.三、解答题10.已知如图,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A在抛物线上,其横坐标为4,且位于x轴上方,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.解:(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2.∴抛物线的标准方程为y2=4x.(2)由(1)得点A的坐标是(
54、4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),∵F(1,0),∴kFA=.∵MN⊥FA,∴kMN=-.则FA