2014高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法配套练习 理 新人教a版

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1、第六章第7讲(时间:45分钟 分值:100分)一、选择题1.[2013·深圳段考]用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )A.2        B.3C.5  D.6答案:C2.如果命题p(n)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是(  )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立答案:B解析:由题意n=k成立

2、,则n=k+2也成立,又n=2时成立,则p(n)对所有正偶数都成立.故选B.3.[2013·三明模拟]某个与正整数n有关的命题,如果当n=k(n∈N*,k≥1)时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,则(  )A.n=4时该命题成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=6时该命题不成立答案:C解析:因为“当n=k(k∈N*,k≥1)时,该命题成立,则一定能推出当n=k+1时,该命题也成立”,故可得n=5时该命题不成立,则一定有n=4时,该命题也不成

3、立.故选C.4.[2013·杭州质检]用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边(  )A.增加了一项B.增加了两项、C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对答案:C解析:当n=k时,左边=++…+,当n=k+1时,左边=++…+++,∴增加了+,减少了,故选C项.5.用数学归纳法证明:12+22+…+n2+…+22+12=,第二步证明由“k到k+1”时,左边应加(  )A.k2  B.(k+1)2C.k2+(k+1)2+k2  D.(k+1)

4、2+k2答案:D解析:当n=k时,左边=12+22+…+k2+…+22+12;当n=k+1时,左边=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,故选D.6.[2013·福建调研]用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )A.(k+3)3  B.(k+2)3C.(k+1)3  D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(

5、k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.二、填空题7.[2013·厦门质检]观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,…,由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)答案:1+++…+>解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测:1+++…+>.8.[2013·金版原创]设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有:(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=

6、________.答案:解析:由(S1-1)2=S得:S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=.猜想:Sn=.9.[2013·济南模拟]用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为________.答案:(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2解析:当n=k时左端为1+2+3+…+k+(k+1)+(k+2)+…+k2,则当n=k+1时,左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1

7、)2,故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.三、解答题10.[2013·西安模拟]试证:当n∈N*时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明:(1)当n=1时,f(1)=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.当n=k+1时,由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),

8、∴n=k+1时命题也成立.根据(1)、(2)可知,对于任意n∈N*,命题都成立.11.[2013·青岛质检]已知数列{an}中,a1=a(a>2),对一切n∈N*,an>0,an+1=.求证:an>2且an+10,∴an>1,∴an-2=-2=≥0,∴an≥2.若存在ak=2,则ak-1=2,由此可推出ak-2=2,…,a1=2,与a1=a>2矛盾,故

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