2014高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法配套练习 理 新人教a版

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1、第六章第7讲(时间：45分钟　分值：100分)一、选择题1.[2013·深圳段考]用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A.2　　　　　　　　B.3C.5　　D.6答案：C2.如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是(　　)A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立答案：B解析：由题意n＝k成立

2、，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．故选B.3.[2013·三明模拟]某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(n∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则(　　)A.n＝4时该命题成立B.n＝6时该命题成立C.n＝4时该命题不成立D.n＝6时该命题不成立答案：C解析：因为“当n＝k(k∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n＝k＋1时，该命题也成立”，故可得n＝5时该命题不成立，则一定有n＝4时，该命题也不成

3、立．故选C.4.[2013·杭州质检]用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)A.增加了一项B.增加了两项、C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对答案：C解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，∴增加了＋，减少了，故选C项．5.用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加(　　)A.k2　　B.(k＋1)2C.k2＋(k＋1)2＋k2　　D.(k＋1)

4、2＋k2答案：D解析：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，故选D.6.[2013·福建调研]用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)A.(k＋3)3　　B.(k＋2)3C.(k＋1)3　　D.(k＋1)3＋(k＋2)3答案：A解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(

5、k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．二、填空题7.[2013·厦门质检]观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)答案：1＋＋＋…＋>解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>.8.[2013·金版原创]设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝

6、________.答案：解析：由(S1－1)2＝S得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.猜想：Sn＝.9.[2013·济南模拟]用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1

7、)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答题10.[2013·西安模拟]试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，

8、∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．11.[2013·青岛质检]已知数列{an}中，a1＝a(a>2)，对一切n∈N*，an>0，an＋1＝.求证：an>2且an＋10，∴an>1，∴an－2＝－2＝≥0，∴an≥2.若存在ak＝2，则ak－1＝2，由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a>2矛盾，故