2013高考数学大一轮复习 5.4简单的三角恒等变换及其应用配套练习 苏教版

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1、5.4简单的三角恒等变换及其应用随堂演练巩固1.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值、最小值分别为__________.【答案】2,1【解析】f(x)=(1+)cosx=cosx+sinx=2sin(x+),因为0≤x<,所以≤x+<.所以,当x+=时,f(x)取得最大值2,当x+=时,f(x)取得最小值为1.2.已知=1,则sin2α=__________.【答案】1【解析】由=1,得sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=2,即1+2sinαcosα=2,所以s

2、in2α=1.3.若=3,tan(α－β)=2,则tan(β－2α)=__________.【答案】【解析】由3==,得tanα=2.又tan(α－β)=2,所以tan(β－2α)=－tan(2α－β)=－tan［α+(α－β)］=－＝.4.已知a=(cosx,sinx),b=(cosx,－sinx)(0＜x＜),且a·b=,则tanx的值为＿＿＿＿.【答案】【解析】∵a=(cosx,sinx),b=(cosx,－sinx),a·b=,∴cos2x=(0＜x＜).∴sin2x=,即tanx===.课后作业夯基1

3、.已知α∈(,π),sinα=,则tan2α=.【答案】-【解析】由α∈(,π),sinα=得cosα=-,故tanα==-.∴tan2α==-.2.函数f(x)=sin2(x+)-sin2(x-)是函数(填“奇”或“偶”).【答案】奇【解析】∵f(x)=sin2(x+)-sin2(x-)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos(-2x)=sin2x,∴f(x)是周期为π的奇函数.3.已知f(x)=,则当θ∈(,)时,化简f(sin2θ)－f(－sin2θ)得__________.【答案

4、】2cosθ【解析】由θ∈(,),得sinθ

5、inx>cosx,所以sinx－cosx===.7.已知3sin2α+2sin2β－2sinα=0,则cos2α+cos2β的取值范围为__________.【答案】［,2］【解析】∵3sin2α+2sin2β－2sinα=0,∴sin2β=sinα－sin2α.由sin2β≥0,得0≤sinα≤,又cos2α+cos2β=2－sin2α－sin2β=2－sin2α－sinα+sin2α=sin2α－sinα+2=(sinα－1)2+,所以当sinα=0时,cos2α+cos2β取得最大值2,当sinα=时,

6、cos2α+cos2β取得最小值.8.在△ABC中,如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3,则∠C=__________.【答案】【解析】由4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3,两式平方相加,得16+4+16sin(A+B)=28,所以sinC=,即∠C=或.若∠C=,则A+B=.所以05,矛盾,所以∠C≠.故∠C=.9.函数f(x)=cos(－)+sin(π－)，x∈R.(1)求f(x)的

7、周期；(2)若f(α)=，α∈(0,),求tan(α+)的值.【解】(1)f(x)=cos(－)+sin(π－)=sin+cos=sin(+)，∴f(x)的周期T==4π.(2)由f(α)=，得sin，∴1+sinα=.∴sinα=.又α∈(0,),∴cosα==.∴tanα==.∴tan(α+)=＝=7.10.已知α,β,γ是公比为2的等比数列(α∈［0,2π］)，且sinα,sinβ,sinγ也成等比数列，求α,β,γ的值.【解】∵α，β，γ是公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α.∵sinα,sinβ,

8、sinγ成等比数列，∴,即.故cosα=cos2α,∴2cos2α－cosα－1=0,解得cosα=1或cosα=－.当cosα=1时，sinα=0，与等比数列首项不为零矛盾，故舍去.当cosα=－时，∵α∈［0,2π］,∴α=π或π.∴α=,β=,γ=或α=,β=,γ=11.(1)已知θ≠kπ(k∈Z),求证：tan=;(2)已知sinθ=,求tan(－)的值.【解】(1)=tan(