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1、面向量数量积的坐标表示 学习内容 1．两个向量数量积的坐标表示： 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2 2．向量的模： 若a=（x，y），则
2、a
3、2=a·a=x2+y2，∴
4、a
5、= 3．两点间的距离公式： 设A（x1，y1）、B（x2，y2）则=（x2-x1，y2-y1），∴
6、
7、= 4．两向量垂直的坐标条件： 设两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥bx1x2+y1y2=0 5．设A、B、C是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A（x1，y2），B（x2，y2），C（
8、x3，y3），则⊥（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0 学习重点 1．向量有坐标表示，向量的数量积也有坐标表示，即为：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2于是与a·b=
9、a
10、·
11、b
12、cosθ（θ是a，b的夹角）相对照，a，b夹角θ的余弦也可以用坐标表示: cosθ=，这样求两个向量（已知坐标）间的夹角就十分方便了． 2．两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0．它为我们证明几何中的垂直问题提供了强有力的工具． 3．两向量
13、a，b共线的充要条件是存在λ∈R，使a=λb．这里应用向量的坐标表示可以得到a，b共线的充要条件是：
14、x1x2+y1y2
15、= 学习难点：利用向量的数量积解决具体问题。 内容讲解： 上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。 我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。如图不妨设： 则有A、B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为， 则有， ∵是互相垂直的单位向量， ∴，， 则 也就是
16、说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即 ， 若 则， ∵， ∴∴， 上图中A(x1,y1),B(x2,y2), 则 则。 这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。 上图中若设∠AOB=α，则， 即 。 由此可得到两个向量的夹角。特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。 这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例题分析第一阶梯 例1.判断题 1．若A，B
17、，C是坐标平面上不同的三点，则AB⊥BC的充要条件是·=0（×） 2．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则
18、+
19、=（×） 3．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夹角为θ，则sinθ=（×） 例2．已知M（a，0），N（0，b）则
20、
21、等于（C） A．
22、a
23、+
24、b
25、B． C． D． 例3.已知a=（2m-1，2+m），若
26、a
27、≤，则m的取值范围为（B） A．（-1，1）B．〔-1，1〕 C．〔，〕D．（-∞，-1）∪〔1，+∞〕 例4.已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），则·
28、=7，·=18 例5.已知A（1+a2，0），B（0，1-a2），则
29、
30、=第二阶梯 例1．在下列各命题中为真命题的是 ①若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1y1+x2y2 ②若A=（x1，y1）、B=（x2，y2），则
31、
32、= ③若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=0x1x2+y1y2=0 ④若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥bx1x2+y1y2=0 A．①②B．②③ C．③④D．①④ 解：根据向量数量积的坐标表示：若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·
33、b=x1x2+y1y2，对照命题（1）的结论可知，它是一个假命题．于是对照选择项的结论．可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）．故不必对（3）进行判定，它一定是正确的．对命题（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题．这样就可以排除（C），∴应选择（B）． 反思回顾：对于命题（3）而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥bx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题．而对于命题（4）来讲，a⊥bÞx1x2+y1y2=0．但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，
34、因此x1x2+y1y2推
