2013-2014学年高中数学 2.2.2第2课时 椭圆方程及性质的应用知能演练 理（含解析）新人教a版选修2-1

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1、2013-2014学年高中数学2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用知能演练理（含解析）新人教A版选修2-11．(2013·青岛调研)点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－C．－2

2、是(　　)A.B.C.D.解析：选C.把y＝x＋1代入椭圆方程，整理得3x2＋4x－2＝0，所以弦的中点坐标(x0，y0)满足x0＝＝－，y0＝x0＋1＝－＋1＝.4．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝(　　)A．－3B．－C．－或－3D．±解析：选B.椭圆右焦点为(1,0)，设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入＋y2＝1，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B.∴·＝－.5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最

3、大值为(　　)A．2B．3C．6D．8解析：选C.∵·＝

4、

5、·

6、

7、·cos∠OPF，∴当P为右端点时·最大，其值为a·(a＋c)·cos0°＝6.6．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长

8、AB

9、＝__________.解析：由得交点为(0,1)，，则

10、AB

11、＝＝.答案：7．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)．如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．解析：焦点在x轴上，设交点为P，则P，又∵点P在y＝x上，∴＝　　，解得m＝2，∴e＝＝＝.答案：8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率

12、为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．解析：将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，－2)，B.设右焦点为F，则S△OAB＝·OF·

13、y1－y2

14、＝×1×＝.答案：9．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．解：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为(－∞，－)

15、∪.10．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且

16、MN

17、＝.求直线l的方程．解：设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.由

18、MN

19、＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，即(1＋k2)2＝，化简得：k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，

20、点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.解析：选D.如图，由于BF⊥x轴，∴BF∥OP.∵＝2，∴a＝2c，∴＝.2．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为________．解析：法一：设过点P(2,1)的直线为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程可得(4k2＋1)x2＋(8k－16k2)x＋16k2－16k－12＝0.设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，即＝4，得k＝－，即所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设弦的两端点

21、的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意有：①－②将③④⑤代入得kAB＝－，∴所求直线的方程为：y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝03．已知椭圆＋＝1过点M(2,1)，O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)．(1)当m＝3时，判断直线l与椭圆的位置关系；(2)当m＝3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值．解：(1)由题可知kl＝kOM＝，当m＝3时，直线l的方程为y＝x＋3.由得x2＋6x＋14＝0.∵Δ＝36－4×14＝－20＜0，∴原方程组无解，即直线l和椭圆无交点

22、，此时直线l和椭圆相离．(2)设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，设直线a的方程为y＝x＋b，联立得x2＋2bx＋2b2－4＝0，∴Δ＝(2b)