《隐函数求导公式》word版

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1、多元函数微分学第五节　隐函数的求导公式一、一个方程的情形在一元函数微分学中我们提出了隐函数的概念，并给出了一元隐函数的求导方法，下面我们继续这个问题，讨论在什么条件下，方程可以唯一地确定函数，并且是可导的。隐函数存在定理（情形１）　设二元函数在区域内是类函数，点且满足：，，则方程在点的某一邻域内唯一确定了一个类一元函数，它满足条件，且有。该定理中函数的存在性由于基础知识所限，无法证明我们只能给出后面公式的证明。由定理的前半部分的结论，在的某邻域内确定了一个具有连续导数的函数，将代入，得两边对求导，由链式求导法，有13多元函数微分学由于连续，且，所以存在的某邻域，在

2、该邻域内，两边除以即得。例1　验证方程在的某邻域能唯一确定一个类的隐函数，并求与。解　是类函数，且，，所以在点的某邻域内能唯一确定一个单值类隐函数，且例2　设为方程的任一解且不全为零。验证在点的某邻域内，都能唯一确定类的隐函数或唯一确定类的隐函数。13多元函数微分学证　设。是类函数，根据隐函数存在定理，只要考察适合方程的那些使得或。为此先解方程组得解和除了这两点以外，在方程的其余任何解的某邻域内，方程都能唯一地确定函数并满足。再解方程组得解和除了这两点以外，在方程的其余任何解的某邻域内，方程都能唯一地确定函数并满足。　　综上可知，除了点以外，在方程的其余任何解处，

3、至少有一个不等于零，因此至少可以确定或中的一个。　　　　　　　证毕定理（情形2）　设三元函数在区域内是13多元函数微分学类函数，点且满足，且，,则方程在点的某邻域内能唯一确定一个类的二元函数，它满足，且有，同样我们只给出最后公式的证明。证　设方程隐式地确定了一个二元可微函数，即有上式两端对和求偏导，由链式法则有，由于连续，且，所以存在点的某邻域，在该邻域内，于是有，例3设，为类函数，为由确定的隐函数，求，13多元函数微分学解，由两边对求导，得所以例4　设，求。解　令，,所以。例5　设，其中为由方程确定的隐函数，和，求。13多元函数微分学由，再由，根据隐函数求导公式

4、，有，所以。二、方组程的情形刚才对于由方程组所确定的隐函数可以推出类似的结论，隐函数还可以由方程组产生。例如设有方程组将其视为的方程组可以解得，若将看成自变量，可见有上面方程组可以决定两个函数。在一般情况下，由方程组决定的隐函数很难显化，所以我们要研究直接由方程组可以唯一确定一对隐函数及具有导数的条件以及导数的计算方法。隐函数存在定理（情形3）　设三元函数，13多元函数微分学是区域内的函数，点且满足：，则方程组在点的某邻域内唯一确定了一对类函数,，它们满足条件，，且有，。证　该定理我们同样仅证后面公式。设由该方程组确定了一对可导函数，即有如下恒等式上面两个等式分别

5、对求导，得13多元函数微分学这是一个关于和的线性方程组。由线性代数的知识可知如果该方程组的系数行列式不为零（也称为关于的雅可比(Jacobi)行列式，记为。利用克莱默(Gramer)法则解上面方程组即得。，与上面讨论类似，有如下结论。隐函数（情形4）设四元函数在包含点的某邻域内都是类函数，它们满足：，则由方程组13多元函数微分学可以确定两个具有连续偏导数的二元函数，它们满足，且有　　　　　　　　其中。例6　设，求，。解　，为其确定的隐函数。方程组两边对求偏导，得，解上面方程组，得13多元函数微分学，。小结　隐函数的偏导数课堂练习题1、设，证明在处连续且偏导数存在，

6、但不可微分．2、设，而，都是可微函数，求3、设，则在点处的值为．4、设，可导，则．5、设，其中、具有二阶连续导数，则等于．6、由方程所确定的函数在点13多元函数微分学处的全微分．7、设，其中是由确定的隐函数，则．8、二元函数在点处两个偏导数、存在，是在点处连续的．（1）充分条件而非必要条件（2）必要条件而非充分条件（3）充分必要条件（4）既非充分条件，又非必要条件9、考虑二元函数的四个性质：①在点处连续；②在点处两个偏导数连续③在点处可微；④在点处两个偏导数存在．若用表示可由性质推出性质，则以下正确的是（）13多元函数微分学10、二元函数在点（0，0）处满足下列性

7、质中．（1）连续、偏导数存在（2）连续、偏导数不存在（3）不连续、偏导数存在（4）不连续、偏导数不存在11、已知，求．12、，求．13、已知，求．14、设为连续可微函数，，，求偏导数．15、设其中函数二阶可导，二阶偏导数都连续，求．17、设是由方程所确定的二元函数，求．13多元函数微分学18、设有连续的偏导数，和分别为由和所确定，求．19、试证用变量代换，可将方程变换为，其中具有二阶连续偏导数．20、设，，求，，，．21、求方程组所确定的函数及的导数，．13