高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（1）学案新人教a版选修2-2

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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数表示形式及其有关概念．【重点难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．难点：复数概念的理解．【学习过程】一．课前预习阅读教材的内容，了解复数概念的建立过程，并注意一下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集，，整数

2、集，有理数集，实数集.3.每次数系的扩充，解决了什么问题？（1）分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.（2）负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.（3）无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.（4）在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程无解，那么在什么范围内才有解？二．课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．要解决这一问题，最根本的问题是要解决的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于．2.

3、根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做，并规定：（1）；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．3．复数的概念：根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数相乘，再与实数相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成，数的范围又扩充了，出现了形如的数，我们把它们叫做复数；叫做，叫做；这种形式的复数叫做复数的．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母表示，有：．4.实数、虚数、纯虚数：对于复数，当且仅当时，它是；当且仅当，它是实数0；当

4、时，叫做；当，时，叫做.5.复数相等的充要条件：在复数集中任取两个复数：，，，规定：且.2.师生探索，合作交流例1.当为何实数时，复数是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？(1)；(2)；(3)，(4)；(5).2.已知复数，当为何值时，是虚数？是纯虚数？例2.已知，其中，，求与．动动手：已知，求实数的值.3．达标检测(1)已知，则分别是________________.(2)若是纯虚数，则的值为_________________.(

5、3)若，则实数的值是.4．归纳与小结(1)在中，实部是，虚部是，易错为虚部是；(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等；(3)在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.