2015高考数学（江苏专用，文科）程序方法策略篇：专题3 解题策略 第8讲

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1、www.gkstk.com第8讲　构造法在解题中的应用[方法精要]　在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连结条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法．解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手．在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径．构造法就是这样的手段之一．构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条

2、件，直至推导出结论，它属于非常规思维．其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性．数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法．题型一　构造向量解决不等式的问题例1　若直线＋＝1通过点M(cosα，sinα)，则下列正确的有________．①a2＋b2≤1;②a2＋b2≥1；③＋≤1;④＋≥1.破题切入点　根据点在直线上可以得到＋＝1，联想向量的数量积的坐标运算法则，可以构造向量．答案　④解析　设向量m＝(cosα，sinα)，n＝(，)，由题意知＋＝1，由m·n≤

3、m

4、

5、n

6、可得1＝＋≤.所以＋≥1.题型二　构

7、造不等式解决证明问题例2　已知a，b，c>0，证明：＋＋≥.破题切入点　直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式．观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上，即我们证明不等式＋＋＋≥a＋b＋c，这时把拆成＋＋，就可以构造轮换不等式了．证明　证明＋＋≥，即证＋＋＋≥a＋b＋c，即证＋＋＋＋＋≥a＋b＋c.又因为＋≥a，＋≥b，＋≥c，所以所证三式相加，不等式成立．题型三　构造函数最值、比较大小的问题例3　已知f(x)＝3－4x＋2xln2，数列{an}满足－

8、]上的最大值和最小值；(2)判断an与an＋1(n∈N*)的大小，并说明理由．破题切入点　(1)直接按照导数研究函数的方法解决．(2)根据给出的条件21＋an＋1－21＋an＝f(an)－21＋an，可以构造函数g(x)＝f(x)－2x＋1，通过研究这个函数解决问题．解　(1)f′(x)＝(1－4x)ln4，当－0，∴f(x)＝3－4x＋2xln2在[－，0]上是增函数，∴f(x)max＝f(0)＝2；f(x)min＝f(－)＝－ln2.(2)由21＋an＋1－21＋an＝f(an)－21＋an，记g(x)＝f(x)－2x＋1得g′(x)＝f

9、′(x)－2x＋1ln2＝(1－2x－4x)ln4，当－g(0)＝f(0)－2＝0，∴f(an)－21＋an>0，即21＋an＋1－21＋an>0，得an＋1>an.题型四　构造数列解决数列求和的问题例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)．(1)求出通项公式an.(2)求证：S＋S＋…＋S≤－.破题切入点　(1)首先根据已知条件求出Sn的通项公式，进而求出通项an.(2)利用放缩法和拆项法证明．(1)解

10、　因为an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)，所以Sn－Sn－1＝－2Sn·Sn－1，两边同除Sn·Sn－1，得－＝2(n≥2)，所以数列{}是以＝＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)·d＝2＋2(n－1)＝2n，所以Sn＝.又因为an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－2··＝，所以an＝(2)证明　因为S＝<＝(－)，S＝，所以当n≥2时，S＋S＋…＋S＝＋＋…＋<＋(1－)＋…＋(－)＝－，当n＝1时，S＝＝－.综上S＋S＋…＋S≤－.总结提高　用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、

11、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套．但可以尝试从中总结规律，在运用构造法时，一要明确构造的目的，即以什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造．1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为________．答案　0解析　如图，选取不共面的向量，，为基底，则原式＝·(－)＋·(－)＋·(－)＝·－·＋·－·＋·－·＝0.2．已知