高中数学 3.4.1基本不等式导学案新人教a版必修5

《高中数学 3.4.1基本不等式导学案新人教a版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.4.1基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【重点难点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、自主学习：如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、合作探究归纳展示(一)．命题的探究图3．4-1-

2、1观察图3-4-1-1思考：（1）上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：__________；（教材P97）（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正

3、方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）如果a>0且b>0用和代替不等式中的a、b上不等式可变形为__________；（）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2观察它的几何意义。●观察思考图3.4-1-2是以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b过点C作垂直于直径AB的弦

4、DD′．思考：1．圆的半径r=__________；2.连接AD、BD，则△ABD是直角三角形吗？△ACD与△BCD相似吗？用a、b表示半弦CD=_________；3.圆的半径r与半玹CD大小关系如何?什么时候才能相等？用一个不等式表示：_________;4．用一句话描述半径与半玹的不等关系：______________________________。5．如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：______________________________。●归纳概括由上面的探究，一般的，当a>0且b>0时有不等式：__________

5、_______，我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）．（教材p98公式（））(二)．命题的证明证法一：x，y∈R，(x－y)0,当且仅当________时，等号成立．令　x=,y=,　所以　xy_____________,当且仅当________时，等号成立．[评析]证明一是从一个已知成立的不等式x，y∈R，(x－y)0出发推导出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？三、讨论交流点拨提升想一想：与适用的范围，a,b有什么不同？______________练一练：★1.正数a=1，b=9则a、b的算术平均数_______

6、___；几何平均数_________；大小如何？★2.正数a=6，b=6则a、b的算术平均数_________；几何平均数_________；大小如何？★3.正数a=1，b=9则a、b的等差中项__________；等比中项_________；大小如何？★4.正数a=4，b=4则a、b的等差中项__________；_________；大小如何？★5.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件．（1）()（2）（）（3）（）（4）ab≤（）（5）（）(x<0)（6）（）(x>0)基本不等式的拓展命题的应用★例1．（直接利用基本不等式）教材P99例1，例2四、学能展示课堂闯关（1

7、）都是正数，求证：≥2（2）(3)五、学后反思1.本节课推导并证明均值不等式的方法是什么？2.运用均值不等式的条件有哪些？均值不等式有哪些变形？3.本节均值不等式解决了哪些问题？需要注意什么？【课后作业】习题3.41234