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《高三数学重点难点：函数的极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三节函数的极限一、知识归纳1、知识精讲：1）当x→∞时函数f(x)的极限:当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题2）当x→x0时函数f(x)的极限:当自变量x无限趋近
2、于常数x0（但x≠x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x0时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x0时,f(x)→a)注：与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。3）函数f(x)的左、右极限:如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。注：。并且可作为一个判断函数在
3、一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。4）函数极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似,如果那么 注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。3.几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即例1．求下列各极限解：(1)原式=(2)原式=(3)因为，而，，所以不存在。(4)原式==（5），但时，→+∞
4、。可知时，不存在。【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。②第（5）小题易与数列极限相混，数列极限中特指，而函数极限中的包括了与。例2 求下列极限：；解：（1）（2）解:（1）f（x）=（2x+b）=b,f（x）=（1+2x）=2,当且仅当b=2时,f（x）=f（x）,故b=2时,原极限存在.（2）由于f（x）是多项式,且=1,∴可设f（x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）.又∵=5,即（4x2+x+a+）=5,∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x.评述:（1）函数
5、在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.练习：设，问a，b为何值时，存在。解：，。当b=2时有，与a无关。故当b=2，a为任何实数时，存在。【思维点拨】存在部析:应先求出f（x）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x＜1时，f（x）=x=x;当x＞1时，f（x）=·x=·x=－x;当x=1时，f（x）=0.∴f（x）=∵f（x）=（－x）=－1,f（x）=x=1,∴f（x）不存在.∴f（x）在
6、x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续.图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.例5：已知求解法一：为方程的一根，得，代人可得解法二：=，代人可得例6：为多项式，且，求。解：∵是多项式，且，∴，为待定系数，即，又，即，∴，即。【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。三、课堂小结小结：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和（或积）
7、的极限时，一般要化简，再求极限.求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法四、布置作业
