高中数学 2.4 向量的数量积（2）教案 新人教a版必修1

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1、江苏省连云港灌云县第一中学高中数学三角函数复习与小结教案新人教A版必修1教学目标：1．掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题；3．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力．教学重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用．教学难点：平面向量的数量积运算律的理解．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、复习导引复习提问：1．（1）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积的定义；（3）“投影”的概念；（4）

2、向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质．2．判断下列各题正确与否：①若，则对任一向量，有；(√)②若，则对任一非零向量，有；(×)③若，，则；(×)④若，则至少有一个为零向量；(×)⑤若，则当且仅当时成立；(×)⑥对任意向量，有．(√)二、学生活动问题1　已知实数，，()，则.=·=是否成立？问题2　实数的运算律有ab=ba；a(b+c)=ab+ac；(ab)c=a(bc)．在向量的数量积中是否成立？（举例说明）三、建构数学1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）．（1）交换律：；证明：设夹角为，则，，∴．（2）数乘结合律：证

3、明：若，此式显然成立．若，，，，∴若，，，．∴qq1q2ABOA1B1C综上可知成立．（3）分配律：．　　在平面内取一点，作=,=，=，∵（即）在方向上的投影等于在方向上的投影和，即：∴，∴即：．说明：（1）一般地，()·≠·（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：＝

4、

5、,(＋)＝＋２＋（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,2．向量的数量积不满足结合律．分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝

6、

7、·

8、

9、cosα·，·(·)＝·

10、

11、

12、

13、cosβ，∴若＝，α＝β，则

14、

15、＝

16、

17、，进而有：（）＝·(•)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立．举反例

18、如下：已知

19、

20、＝１，

21、

22、＝１，

23、

24、＝，与夹角是60°，与夹角是45°，()·＝（

25、

26、·

27、

28、cos60°）·＝，·(·)＝（

29、

30、·

31、

32、cos45°）＝而≠，故（）·≠·（·）四、数学运用1．例题．例1　已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．例2　求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．变式1　用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．变式2　如图，是的三条高，求证：相交于一点．ABCDEFH变式3　用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点．例3四边形中，=，=，=，＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形？例4设与是夹角为60°，且

33、

34、

35、

36、

37、，是否存在满足条件的，，使

38、+

39、=2

40、-

41、？请说明理由．2．巩固．（1）已知

42、

43、=1,

44、

45、=，（1）-与垂直，则的夹角是______；（2）若，；（3）若、的夹角为，则

46、+

47、；（2）已知

48、

49、=2,

50、

51、=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；

52、-4

53、·

54、-

55、（3）设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；（4）对于两个非零向量，，当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直．五、回顾反思通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的重要性质解决相关问题．